ハドヴィガーの定理のソースを表示

{{仮リンク|積分幾何学|en|integral geometry}}（もしくは幾何学的確率論）において、'''ハドヴィガーの定理'''（ハドヴィガーのていり、{{Lang-en-short|Hadwiger's theorem}}）は '''R'''<sup>''n''</sup> における{{仮リンク|凸体|en|convex body}}への{{仮リンク|付値 (測度論)|en|valuation (measure theory)}}の特徴付けをする定理である。[[ヒューゴ・ハドヴィガー]]によって証明された。

==導入==

===付値===

'''K'''<sup>''n''</sup> を、'''R'''<sup>''n''</sup> における全ての[[コンパクト空間|コンパクト]][[凸集合]]の集まりとする。

'''付値'''とは、関数 ''v'':'''K'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;'''R''' であって、 ''v''(&empty;)&nbsp;=&nbsp;0 かつ、''S''&cup;''T''&isin;'''K'''<sup>''n''</sup> である任意の ''S'',''T''&nbsp;&isin;'''K'''<sup>''n''</sup> に対し

:<math> v(S) + v(T) = v(S \cap T) + v(S \cup T)~</math>

を満たすもののことである。付値が連続であるとは、それが[[ハウスドルフ距離]]について連続であることをいう。付値が剛体運動の下で不変であるとは、任意の ''S''&nbsp;&isin;&nbsp;'''K'''<sup>''n''</sup> と '''R'''<sup>''n''</sup> の任意の[[平行移動]]または[[回転 (数学)|回転]]に対し
:''v''(''&phi;''(''S''))&nbsp;=&nbsp;''v''(''S'')

が成り立つことをいう。

===Quermassintegrals===
[[File:Somme de Minkowski (1).jpg|thumb|180px|''n'' = 2 のとき、凸多角形に対するシュタイナーの公式を図解したもの。多角形 ''K'' と一定半径の円板 ''B'' の ''t'' 倍との{{仮リンク|ミンコフスキー和|en|Minkowski addition}}の面積は、次の3種の図形の面積の合計で求められる：(1) 元の多角形（黄色）、(2) 面積が多角形の周長および ''t'' に比例する図形（青紫色）、(3) 面積が円板の面積および ''t'' の2乗に比例する図形（緑色）。]]
{{仮リンク|quermassintegral|en|quermassintegral}} ''W''<sub>''j''</sub>:&nbsp;'''K'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;'''R''' は、シュタイナーの公式

:<math> \mathrm{Vol}_n(K + t B) = \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} W_j(K) t^j~</math>

によって定義される。ここで ''B'' はユークリッド球体。例えば、''W''<sub>0</sub> は体積、''W''<sub>''1''</sub> は[[表面積]]の定数倍、''W''<sub>''n''-1</sub> は[[平均幅]]の定数倍、''W''<sub>''n''</sub> は定数 Vol<sub>''n''</sub>(''B'') である。

''W''<sub>''j''</sub> は[[斉次函数|斉 ''n''-''j'' 次]]の付値である、つまり、

:<math>W_j(tK) = t^{n-j} W_j(K)~, \quad t \geq 0~. </math>

==定理の主張==

剛体運動の下で不変で連続な、'''K'''<sup>''n''</sup> 上の任意の付値 ''v'' は、

:<math>v(S) = \sum_{j=0}^n c_j W_j(S)~</math>

と表示できる。

===系===

剛体運動の下で不変で連続、かつ斉 ''j'' 次な '''K'''<sup>''n''</sup> 上の任意の付値 ''v'' は、''W''<sub>''n''-''j''</sub> の定数倍である。

==参考文献==

ハドヴィガーの定理の説明および証明：
* {{cite book|mr=1608265|last=Klain|first=D.A.|last2=Rota|author2-link=Gian-Carlo Rota|first2=G.-C.|title=Introduction to geometric probability|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge|year=1997|isbn=0-521-59362-X}}

Beifang Chen による、初等的で自己完結的な証明：
* {{cite journal|title=A simplified elementary proof of Hadwiger's volume theorem|journal=Geom. Dedicata|volume=105|year=2004|pages=107&ndash;120|last=Chen|first=B.|mr=2057247|doi=10.1023/b:geom.0000024665.02286.46}}

{{Geometry-stub}}

{{DEFAULTSORT:はとういかあのていり}}
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