ハドヴィガーの定理

テンプレート:仮リンク（もしくは幾何学的確率論）において、ハドヴィガーの定理（ハドヴィガーのていり、テンプレート:Lang-en-short）は Rⁿ におけるテンプレート:仮リンクへのテンプレート:仮リンクの特徴付けをする定理である。ヒューゴ・ハドヴィガーによって証明された。

導入

Kⁿ を、Rⁿ における全てのコンパクト凸集合の集まりとする。

付値とは、関数 v:Kⁿ → R であって、 v(∅) = 0 かつ、S∪T∈Kⁿ である任意の S,T ∈Kⁿ に対し

v (S) + v (T) = v (S \cap T) + v (S \cup T)

を満たすもののことである。付値が連続であるとは、それがハウスドルフ距離について連続であることをいう。付値が剛体運動の下で不変であるとは、任意の S ∈ Kⁿ と Rⁿ の任意の平行移動または回転に対し

v(φ(S)) = v(S)

が成り立つことをいう。

テンプレート:仮リンク W_j: Kⁿ → R は、シュタイナーの公式

{V o l}_{n} (K + t B) = \sum_{j = 0}^{n} (\binom{n}{j}) W_{j} (K) t^{j}

によって定義される。ここで B はユークリッド球体。例えば、W₀ は体積、W₁ は表面積の定数倍、W_n-1 は平均幅の定数倍、W_n は定数 Vol_n(B) である。

W_j は斉 n-j 次の付値である、つまり、

W_{j} (t K) = t^{n - j} W_{j} (K), t \geq 0 .

剛体運動の下で不変で連続な、Kⁿ 上の任意の付値 v は、

v (S) = \sum_{j = 0}^{n} c_{j} W_{j} (S)

と表示できる。

剛体運動の下で不変で連続、かつ斉 j 次な Kⁿ 上の任意の付値 v は、W_n-j の定数倍である。

ハドヴィガーの定理の説明および証明：

Beifang Chen による、初等的で自己完結的な証明：