平均幅

初等幾何学における平均幅（へいきんふく、テンプレート:Lang-en-short）は立体の「大きさ」に関する測度の一つである（立体の測度として利用可能なもののより詳細はハドヴィガーの定理を参照せよ）。

テンプレート:Mvar-次元の場合に、テンプレート:Math 上の与えられた方向 テンプレート:Mvar へ直交する テンプレート:Math-次元超平面を考える（ここに テンプレート:Mvar は [[超球面|テンプレート:Mvar-次元球面]]（テンプレート:Math-次元球体の境界面）である）と、与えられた方向 テンプレート:Mvar への立体の「幅」("width") は、そのような超平面の対でその間に立体を完全に挟む（立体と超平面との交わりは境界上の点に限る）もののうち最も近い対の成す距離を言う。平均幅とは、この「幅」の テンプレート:Math の全ての方向 テンプレート:Mvar に亘ってとった算術平均を言う。

より厳密に、コンパクト立体 テンプレート:Mvar をその内部と境界からなる同値な点集合（この場合の点とは テンプレート:Math の元である）として定義し、立体 テンプレート:Mvar のテンプレート:Ill2（支持超平面と原点との距離）は $$h_B(n):=\max \{⟨n,x⟩\mid x\in B\}$$ として定まる。ただし テンプレート:Mvar は方向ベクトル、テンプレート:Math は テンプレート:Math の標準内積である。このとき、平均幅は $$b(B)=\frac{1}{S_{n-1}}\underset{S^{n-1}}{\int }{h}_B(\hat{n})+h_B(-\hat{n})$$ で与えられる。ただし、テンプレート:Math は テンプレート:Math の テンプレート:Math-次元体積とする。

この平均幅は任意の（コンパクト）立体に対して定義することができるが、テンプレート:Ill2（点集合として凸集合を成す立体）に関してが最も有用である。

低次元における凸体の平均幅

一次元

線分 テンプレート:Mvar の平均幅は テンプレート:Mvar の長さ（一次元体積）である。

二次元

二次元における任意のコンパクト図形 テンプレート:Mvar の平均幅 テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の凸包の周長を テンプレート:Mvar として テンプレート:Mvar に等しい。したがって テンプレート:Mvar はその凸包と等しい周長を持つ円の直径の長さである。

三次元

三次元における凸体 テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Mvar の平均幅はそのテンプレート:Ill2 テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar の境界面全体に亘る算術平均値に関係がある。実は、$$\underset{\delta K}{\int }\frac{H}{2\pi }dS=b(K)$$ が成り立つ（ただし、テンプレート:Mvar は凸体 テンプレート:Mvar の境界であり、テンプレート:Mvar は面素で、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar 上の対応する点における平均曲率である）。他の測度と平均曲率の一般化の間にも同様の関係が成り立ち、またほかの次元においても同じである 平均曲率上の積分のほうが典型的には平均幅よりも計算がおおきく容易であり、これは非常に有用な結果である。

関連項目

• 定幅図形

関連文献

平均幅は凸幾何学に関するまともな文献ならばふつうは言及があるはずである。例えば

• テンプレート:Citation (平均幅と平均曲率の間の関係も導出されている)

ハドヴィガーの定理に言う測度の一つとしての平均幅の応用は、以下を参照

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