ハルナック曲線定理のソースを表示

[[Image:ECClines-3.svg|thumb|300px|左の（次数3の滑らかな）[[楕円曲線]]は、M-曲線であり、成分の個数は最大の2である。一方、右の楕円曲線は、1つしか成分を持たない。]]
[[実数|実]][[代数幾何学]]において、{{仮リンク|カール・アクセル・ハルナック|en|Carl Gustav Axel Harnack}}(Carl Gustav Axel Harnack)に因み命名された'''ハルナック曲線定理''' (Harnack's curve theorem) は、代数曲線が持つことのできる[[連結空間|連結成分]]の可能な数を、曲線の次数によって記述する。実[[射影平面]]の中の次数 ''m'' の[[代数曲線]]では、成分の数 ''c'' は、

:<math>\frac{1-(-1)^m}{2} \le c \le \frac{(m-1)(m-2)}{2}+1.\ </math>

の範囲の中にある。最大数は次数 ''m'' の曲線の最大[[算術種数|種数]]に 1 を足したもので、曲線が非特異なときに達成される。さらに、この範囲の中の任意の値は、実際に可能である。

[[Image:Trott bitangents.png|thumb|{{仮リンク|トロット曲線|en|Trott curve}}は、ここでは7本の二重接線とともに示したが、次数4の M 曲線であり、成分の個数は4次で最大の4である。]]
実成分の最大数を持つ曲線を（最大 (maximum) の m から）'''M-曲線'''(M-curve)と呼ぶ。例えば、<math>y^2=x^3-x</math> のような、2つの成分を持つ3次の[[楕円曲線]]や、4つの成分を持つ4次の{{仮リンク|トロット曲線|en|Trott curve}}は、M-曲線の例である。

この定理は{{仮リンク|ヒルベルトの第16問題|en|Hilbert's sixteenth problem}}の背景をなしている。

最近の発展では、ハルナック曲線は、その[[アメーバ (数学)|アメーバ]]が（[[ダイマー模型]]の特性曲線と呼ばれる）多項式 ''P'' の{{仮リンク|ニュートン多面体|en|Newton polygon}}と同じ面積を持つような曲線であり、さらに、すべてのハルナック曲線はあるダイマー模型のスペクトル曲線となっていることが示された {{harv|Mikhalkin|2001}} ({{harvtxt|Kenyon|Okounkov|Sheffield|2006}})。

== 参考文献 ==
* [[Dmitrii Andreevich Gudkov|D. A. Gudkov]], ''The topology of real projective algebraic varieties'', Uspekhi Mat. Nauk 29 (1974), 3–79 (Russian), English transl., Russian Math. Surveys 29:4 (1974), 1–79
* [[Carl Gustav Axel Harnack|C. G. A. Harnack]], [http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01442458 <!--NOT Ü-->''Ueber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen Curven''], Math. Ann. '''10''' (1876), 189–199
* G. Wilson, ''Hilbert's sixteenth problem'', Topology '''17''' (1978), 53–74
* {{Cite journal | last1=Kenyon | first1=Richard | last2=Okounkov | first2=Andrei | last3=Sheffield | first3=Scott | author-link2=Andrei Okounkov | author-link3=Scott Sheffield | title=Dimers and Amoebae | year=2006 | journal=[[Annals of Mathematics]] | volume=163 | issue=3 | pages=1019-1056 | ref=harv}} url=http://arxiv.org/pdf/math-ph/0311005.pdf
* {{Citation | last1=Mikhalkin | first1=Grigory | author-link=Gregory Mikhalkin | title=AMOEBAS OF ALGEBRAIC VARIETIES | year=2001}} url=http://arxiv.org/pdf/math/0108225.pdf

{{DEFAULTSORT:はるなつくきよくせんていり}}
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