ハルナック曲線定理

左の（次数3の滑らかな）楕円曲線は、M-曲線であり、成分の個数は最大の2である。一方、右の楕円曲線は、1つしか成分を持たない。

実代数幾何学において、テンプレート:仮リンク(Carl Gustav Axel Harnack)に因み命名されたハルナック曲線定理 (Harnack's curve theorem) は、代数曲線が持つことのできる連結成分の可能な数を、曲線の次数によって記述する。実射影平面の中の次数 m の代数曲線では、成分の数 c は、

$\frac{1-(-1{)}^m}{2}\le c\le \frac{(m-1)(m-2)}{2}+1.$

の範囲の中にある。最大数は次数 m の曲線の最大種数に 1 を足したもので、曲線が非特異なときに達成される。さらに、この範囲の中の任意の値は、実際に可能である。

テンプレート:仮リンクは、ここでは7本の二重接線とともに示したが、次数4の M 曲線であり、成分の個数は4次で最大の4である。

実成分の最大数を持つ曲線を（最大 (maximum) の m から）M-曲線(M-curve)と呼ぶ。例えば、$y^2=x^3-x$ のような、2つの成分を持つ3次の楕円曲線や、4つの成分を持つ4次のテンプレート:仮リンクは、M-曲線の例である。

この定理はテンプレート:仮リンクの背景をなしている。

最近の発展では、ハルナック曲線は、そのアメーバが（ダイマー模型の特性曲線と呼ばれる）多項式 P のテンプレート:仮リンクと同じ面積を持つような曲線であり、さらに、すべてのハルナック曲線はあるダイマー模型のスペクトル曲線となっていることが示された テンプレート:Harv (テンプレート:Harvtxt)。

参考文献

• D. A. Gudkov, The topology of real projective algebraic varieties, Uspekhi Mat. Nauk 29 (1974), 3–79 (Russian), English transl., Russian Math. Surveys 29:4 (1974), 1–79
• C. G. A. Harnack, Ueber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen Curven, Math. Ann. 10 (1876), 189–199
• G. Wilson, Hilbert's sixteenth problem, Topology 17 (1978), 53–74
• テンプレート:Cite journal url=http://arxiv.org/pdf/math-ph/0311005.pdf
• テンプレート:Citation url=http://arxiv.org/pdf/math/0108225.pdf