ハールウェーブレットのソースを表示

[[Image:Haar wavelet.svg|thumb|right|ハールウェーブレット]]
'''ハールウェーブレット'''（{{lang-en-short|Haar wavelet}}）とは、[[ウェーブレット]]の一つ。1909年に Alfréd Haar がハール列の名称で発表した<ref>{{cite journal
 | last = Haar
 |first = Alfréd
 | title = Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme
 | journal = [[Mathematische Annalen]] 
 | volume = 69 
 | year = 1910 
 | issue = 3 
 | pages = 331–371 
 | doi=10.1007/BF01456326 
}}</ref>。[[Daubechiesウェーブレット]]の一つでもある。

ハールウェーブレットは最も簡単なウェーブレットである。欠点は、[[連続]]では無いため、[[微分可能]]では無い事。

== 定義 ==
ウェーブレット関数の定義は以下の通り。
: <math>\psi(t) = \begin{cases}
  1 \quad & 0 \leq  t < \frac{1}{2},\\
 -1 & \frac{1}{2} \leq t < 1,\\
  0 &\mbox{otherwise.}
\end{cases}</math>

対応するスケーリング関数は以下の通り。
: <math>\phi(t) = \begin{cases}1 \quad & 0 \leq  t < 1,\\0 &\mbox{otherwise.}\end{cases}</math>

== ハール関数とハール系 ==
整数 n, k に対して、下記のようにハール関数 ψ<sub>n, k</sub> が定義できる。
:<math> \psi_{n,k}(t) = 2^{n / 2} \psi(2^n t-k), \quad t \in \mathbf{R}.</math>

下記の性質を持つ。δ<sub>i, j</sub> は[[クロネッカーのデルタ]]。
:<math> \int_{\mathbf{R}} \psi_{n, k}(t) \, d t = 0</math>
:<math> \quad \|\psi_{n, k}\|^2_{L^2(\mathbf{R})} = \int_{\mathbf{R}} \psi_{n, k}(t)^2 \, d t = 1</math>
:<math> \int_{\mathbf{R}} \psi_{n_1, k_1}(t) \psi_{n_2, k_2}(t) \, d t = \delta_{n_1, n_2} \delta_{k_1, k_2} </math>

ハール系とは下記の関数集合の事で、L<sup>2</sup>(R) の[[正規直交基底]]である。
:<math>\{ \psi_{n,k}(t) \; ; \; n \in \mathbf{Z}, \; k \in \mathbf{Z} \}</math>

スケール <math>n_1</math> のハール系とは下記の関数集合の事で、L<sup>2</sup>(R) の[[正規直交基底]]である。
:<math>\{ \phi_{n_1,k}(t), \psi_{n_2,k}(t) \; ; \; n_2 \in \mathbf{Z}, \; k \in \mathbf{Z}, \; n_1 \le n_2 \}</math>

== スケーリング関数 ==
整数 n, k に対して、下記のように[[多重解像度解析]]のためのスケーリング関数 <math>\phi_{n,k}</math> が定義できる。
:<math> \phi_{n,k}(t) = 2^{n / 2} \phi(2^n t-k), \quad t \in \mathbf{R}.</math>

下記の性質を持つ。
:<math> \int_{\mathbf{R}} \phi_{n, k}(t) \, d t = 2^{-n/2}</math>
:<math> \quad \|\phi_{n, k}\|^2_{L^2(\mathbf{R})} = \int_{\mathbf{R}} \phi_{n, k}(t)^2 \, d t = 1</math>

同じ解像度のスケーリング関数の内積は以下の通り。
: <math>\int_{\mathbf{R}} \phi_{n, k_1}(t) \phi_{n, k_2}(t) \, d t = \delta_{k_1, k_2}</math>

異なる解像度のスケーリング関数の内積は以下の通り。
: <math>\int_{\mathbf{R}} \phi_{n_1, k_1}(t) \phi_{n_2, k_2}(t) \, d t</math>
: <math>= 2^{\frac{n_1 + n_2}{2}} \int_{\frac{k_1}{2^{n_1}}}^{\frac{k_1 + 1}{2^{n_1}}} \phi(2^{n_2}t - k_2) \, d t</math>
: <math>= \begin{cases}
  2^{\frac{n_1 + n_2}{2}} ( \min \{ \frac{k_1 + 1}{2^{n_1}}, \frac{k_2 + 1}{2^{n_2}} \} - \max \{ \frac{k_1}{2^{n_1}}, \frac{k_2}{2^{n_2}} \} ) \quad & \frac{k_2}{2^{n_2}} < \frac{k_1 + 1}{2^{n_1}} \land \frac{k_1}{2^{n_1}} < \frac{k_2 + 1}{2^{n_2}},\\
  0 &\mbox{otherwise.}
\end{cases}</math>

== ウェーブレット関数とスケーリング関数の関係 ==
ウェーブレット関数やスケーリング関数は下記の[[多重解像度解析|トゥースケール関係]]が成立し、一段細かい解像度のスケーリング関数から合成できる。
: <math>\phi(t) = \phi(2t) + \phi(2t - 1)</math>
: <math>\psi(t) = \phi(2t) - \phi(2t - 1)</math>

解像度を指定した場合は以下の通り。
: <math>\phi_{n, k}(t) = \frac{\phi_{n + 1, 2k} (t) + \phi_{n + 1, 2k + 1}(t)}{\sqrt{2}}</math>
: <math>\psi_{n, k}(t) = \frac{\phi_{n + 1, 2k} (t) - \phi_{n + 1, 2k + 1}(t)}{\sqrt{2}}</math>

ウェーブレット関数とスケーリング関数の内積は、スケーリング関数よりウェーブレット関数の方が解像度が細かいか、もしくは、同じならば常に0。そうでは無い場合の方の式は、上記の異なる解像度のスケーリング関数の内積を代入すれば良い。
: <math>\int_{\mathbf{R}} \phi_{n_1, k_1}(t) \psi_{n_2, k_2}(t) \, d t</math>
: <math>= \begin{cases}
  \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \int_{\mathbf{R}} \phi_{n_1, k_1}(t) \phi_{n_2 + 1, 2 k_2}(t) \, d t - \int_{\mathbf{R}} \phi_{n_1, k_1}(t) \phi_{n_2 + 1, 2 k_2 + 1}(t) \, d t \right) \quad & n_1 > n_2,\\
  0 &\mbox{otherwise.}
\end{cases}</math>

== 関連項目 ==
* [[ウェーブレット]]
* [[ウェーブレット変換]]
* [[離散ウェーブレット変換]]
* [[次元削減]]
* {{仮リンク|Haar-like特徴|en|Haar-like feature}}

== 参照 ==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:はあるうええふれつと}}
[[Category:ウェーブレット]]
[[Category:数学に関する記事]]