ハールウェーブレット

ハールウェーブレット

ハールウェーブレット（テンプレート:Lang-en-short）とは、ウェーブレットの一つ。1909年に Alfréd Haar がハール列の名称で発表した。Daubechiesウェーブレットの一つでもある。

ハールウェーブレットは最も簡単なウェーブレットである。欠点は、連続では無いため、微分可能では無い事。

定義

ウェーブレット関数の定義は以下の通り。

$\psi (t)=\{\begin{array}{cc}1& 0\le t<\frac{1}{2},\\ -1& \frac{1}{2}\le t<1,\\ 0& \text{otherwise.}\end{array}$

対応するスケーリング関数は以下の通り。

$\varphi (t)=\{\begin{array}{cc}1& 0\le t<1,\\ 0& \text{otherwise.}\end{array}$

ハール関数とハール系

整数 n, k に対して、下記のようにハール関数 ψ_n, k が定義できる。

${\psi }_{n,k}(t)=2^{n/2}\psi (2^{n}t-k),t\in 𝐑.$

下記の性質を持つ。δ_{i, j} はクロネッカーのデルタ。

$\underset{𝐑}{\int }{\psi }_{n,k}(t)dt=0$

$\Vert {\psi }_{n,k}{\Vert }_{L^2(𝐑)}^2=\underset{𝐑}{\int }{\psi }_{n,k}(t{)}^{2}dt=1$

$\underset{𝐑}{\int }{\psi }_{n_1,k_1}(t){\psi }_{n_2,k_2}(t)dt={\delta }_{n_1,n_2}{\delta }_{k_1,k_2}$

ハール系とは下記の関数集合の事で、L²(R) の正規直交基底である。

$\{{\psi }_{n,k}(t);n\in 𝐙,k\in 𝐙\}$

スケール $n_1$ のハール系とは下記の関数集合の事で、L²(R) の正規直交基底である。

$\{{\varphi }_{n_1,k}(t),{\psi }_{n_2,k}(t);n_2\in 𝐙,k\in 𝐙,n_1\le n_2\}$

スケーリング関数

整数 n, k に対して、下記のように多重解像度解析のためのスケーリング関数 ${\varphi }_{n,k}$ が定義できる。

${\varphi }_{n,k}(t)=2^{n/2}\varphi (2^{n}t-k),t\in 𝐑.$

下記の性質を持つ。

$\underset{𝐑}{\int }{\varphi }_{n,k}(t)dt=2^{-n/2}$

$\Vert {\varphi }_{n,k}{\Vert }_{L^2(𝐑)}^2=\underset{𝐑}{\int }{\varphi }_{n,k}(t{)}^{2}dt=1$

同じ解像度のスケーリング関数の内積は以下の通り。

$\underset{𝐑}{\int }{\varphi }_{n,k_1}(t){\varphi }_{n,k_2}(t)dt={\delta }_{k_1,k_2}$

異なる解像度のスケーリング関数の内積は以下の通り。

$\underset{𝐑}{\int }{\varphi }_{n_1,k_1}(t){\varphi }_{n_2,k_2}(t)dt$

$=2^{\frac{n_1+n_2}{2}}\underset{\frac{k_1}{2^{n_1}}}{\overset{\frac{k_1+1}{2^{n_1}}}{\int }}\varphi (2^{n_2}t-k_2)dt$

$=\{\begin{array}{cc}{2}^{\frac{n_1+n_2}{2}}(\min \{\frac{k_1+1}{2^{n_1}},\frac{k_2+1}{2^{n_2}}\}-\max \{\frac{k_1}{2^{n_1}},\frac{k_2}{2^{n_2}}\})& \frac{k_2}{2^{n_2}}<\frac{k_1+1}{2^{n_1}}\wedge \frac{k_1}{2^{n_1}}<\frac{k_2+1}{2^{n_2}},\\ 0& \text{otherwise.}\end{array}$

ウェーブレット関数とスケーリング関数の関係

ウェーブレット関数やスケーリング関数は下記のトゥースケール関係が成立し、一段細かい解像度のスケーリング関数から合成できる。

$\varphi (t)=\varphi (2t)+\varphi (2t-1)$

$\psi (t)=\varphi (2t)-\varphi (2t-1)$

解像度を指定した場合は以下の通り。

${\varphi }_{n,k}(t)=\frac{{\varphi }_{n+1,2k}(t)+{\varphi }_{n+1,2k+1}(t)}{\sqrt{2}}$

${\psi }_{n,k}(t)=\frac{{\varphi }_{n+1,2k}(t)-{\varphi }_{n+1,2k+1}(t)}{\sqrt{2}}$

ウェーブレット関数とスケーリング関数の内積は、スケーリング関数よりウェーブレット関数の方が解像度が細かいか、もしくは、同じならば常に0。そうでは無い場合の方の式は、上記の異なる解像度のスケーリング関数の内積を代入すれば良い。

$\underset{𝐑}{\int }{\varphi }_{n_1,k_1}(t){\psi }_{n_2,k_2}(t)dt$

$=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}(\underset{𝐑}{\int }{\varphi }_{n_1,k_1}(t){\varphi }_{n_2+1,2k_2}(t)dt-\underset{𝐑}{\int }{\varphi }_{n_1,k_1}(t){\varphi }_{n_2+1,2k_2+1}(t)dt)& n_1>n_2,\\ 0& \text{otherwise.}\end{array}$

関連項目

• ウェーブレット
• ウェーブレット変換
• 離散ウェーブレット変換
• 次元削減
• テンプレート:仮リンク