ハーン多項式のソースを表示

{{出典の明記|date=2014年6月}}
'''ハーン多項式'''（はーんたこうしき、{{lang-en|''Hahn polynomials''}}）は[[直交多項式]]のひとつで、[[アスキースキーム]]によって体系付けられる<ref name="KS1998"/>。

== 定義 ==
ハーン多項式は[[超幾何級数]]を用いて次のように定義される: 
:<math>
Q_{n}(x; \alpha, \beta, N)={_{3}F_{2}}\left(\begin{matrix}-n, n+\alpha+\beta+1, -x\\\alpha+1, -N\end{matrix}; 1 \right),\quad x = 0, 1, \ldots, N.
</math>

== 性質 ==
=== 直交関係 ===
<math>\alpha, \beta<-1</math> または <math>\alpha, \beta<-N</math> に対して以下の直交関係を満たす:
:<math>
  \sum_{x=0}^{N}\binom{\alpha+x}{x}\binom{\beta+N-x}{N-x}Q_{m}(x; \alpha, \beta, N)Q_{n}(x; \alpha, \beta, N)
  =\frac{(-1)^{n}(n+\alpha+\beta+1)_{N+1}(\beta+1)_{n}n!}{(2n+\alpha+\beta+1)(\alpha+1)_{n}(-N)_{n}N!}\delta_{mn}.
</math>
但し、<math>(a)_{n}</math> は[[ポッホハマーの記号]]を表す。

=== 漸化式 ===
以下の[[漸化式]]が成り立つ。
:<math>
  -xQ_{n}(x)=A_{n}Q_{n+1}(x)-(A_{n}+C_{n})Q_{n}(x)+C_{n}Q_{n-1}(x).
</math>
但し、<math>Q_{n}(x; \alpha, \beta, N)</math> を <math>Q_{n}(x)</math> と略記し、
:<math>
\begin{align}
  A_{n}&=\frac{(n+\alpha+\beta+1)(n+\alpha+1)(N-n)}{(2n+\alpha+\beta+1)(2n+\alpha+\beta+2)},\\
  C_{n}&=\frac{n(n+\alpha+\beta+N+1)(n+\beta)}{(2n+\alpha+\beta)(2n+\alpha+\beta+1)}
\end{align}
</math>
とした。

=== 差分方程式 ===
次の[[差分方程式]]を満たす:
:<math>
  n(n+\alpha+\beta+1)Q_{n}(x)=B(x)Q_{n}(x+1)-(B(x)+D(x))Q_{n}(x)+D(x)Q_{n}(x-1).
</math>
但し、
:<math>
\begin{align}
  B(x)&=(x+\alpha+1)(x-N),\\
  D(x)&=x(x-\beta-N-1).
\end{align}
</math>

=== ロドリゲスの公式に相当するもの ===
[[ロドリゲスの公式]]に相当する以下の式を満たす:
:<math>
  \omega(x;\alpha,\beta,N)Q_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}(\beta+1)_{n}}{(-N)_{n}}\nabla^{n}\omega(x;\alpha+n,\beta+n,N-n).
</math>

=== 母関数 ===
以下の[[母関数]]を持つ:
:*<math>
  {_{1}F_{1}}\left(\begin{matrix}-x\\ \alpha+1\end{matrix}; -t \right)
  {_{1}F_{1}}\left(\begin{matrix}x-N\\ \beta+1\end{matrix}; t \right)
  =\sum_{n=0}^{N}\frac{(-N)_{n}}{(\beta+1)_{n}n!}Q_{n}(x;\alpha,\beta,N)t^{n}
</math>
:*<math>
  {_{2}F_{0}}\left(\begin{matrix}-x,-x+\beta+N+1\\ -\end{matrix}; -t \right)
  {_{2}F_{0}}\left(\begin{matrix}x-N,x+\alpha+1\\ -\end{matrix}; t \right)
  =\sum_{n=0}^{N}\frac{(-N)_{n}(\alpha+1)_{n}}{n!}Q_{n}(x;\alpha,\beta,N)t^{n}
</math>
:*<math>
  \left[(1-t)^{-\alpha-\beta-1}{_{3}F_{2}}\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}(\alpha+\beta+1),\frac{1}{2}(\alpha+\beta+2),-x\\ \alpha+1,-N\end{matrix}; -\frac{4t}{(1-t)^{2}} \right) \right]_{N}
  =\sum_{n=0}^{N}\frac{(\alpha+\beta+1)_{n}}{n!}Q_{n}(x;\alpha,\beta,N)t^{n}
</math>

=== 双対ハーン多項式との関係 ===
{{main |双対ハーン多項式}}
変数 <math>x</math> と <math>n</math> を交換することによって[[双対ハーン多項式]] <math>R_{x}(\lambda(n);\alpha,\beta,N)</math> が得られる:
:<math>
  Q_{x}(n;\alpha,\beta,N)=R_{n}(\lambda(x);\alpha,\beta,N).
</math>

== 参考文献 ==
{{Reflist | refs=
<ref name="KS1998">{{Cite journal | author=Roelof Koeko | author2=René F. Swarttouw | title=The Askey-scheme of hypergeometric orthogonal polynomials and its q-analogue|url = http://homepage.tudelft.nl/11r49/documents/as98.pdf|publisher=Delft University of Technology, Faculty of Information Technology and Systems, Department of Technical Mathematics and Informatics|volume= 98-17|date=1998}}</ref>
}}

{{Mathanalysis-stub}}
{{DEFAULTSORT:はあんたこうしき}}
[[Category:直交多項式]]
[[Category:超幾何級数]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]