ハーン多項式

テンプレート:出典の明記 ハーン多項式（はーんたこうしき、テンプレート:Lang-en）は直交多項式のひとつで、アスキースキームによって体系付けられる^[1]。

定義

ハーン多項式は超幾何級数を用いて次のように定義される:

Q_{n} (x; α, β, N) =_{3} F_{2} (\begin{matrix} - n, n + α + β + 1, - x \\ α + 1, - N \end{matrix}; 1), x = 0, 1, \dots, N .

性質

直交関係

$α, β < - 1$ または $α, β < - N$ に対して以下の直交関係を満たす:

\sum_{x = 0}^{N} (\binom{α + x}{x}) (\binom{β + N - x}{N - x}) Q_{m} (x; α, β, N) Q_{n} (x; α, β, N) = \frac{(- 1)^{n} (n + α + β + 1)_{N + 1} (β + 1)_{n} n!}{(2 n + α + β + 1) (α + 1)_{n} (- N)_{n} N!} δ_{m n} .

但し、 $(a)_{n}$ はポッホハマーの記号を表す。

漸化式

以下の漸化式が成り立つ。

- x Q_{n} (x) = A_{n} Q_{n + 1} (x) - (A_{n} + C_{n}) Q_{n} (x) + C_{n} Q_{n - 1} (x) .

但し、 $Q_{n} (x; α, β, N)$ を $Q_{n} (x)$ と略記し、

\begin{matrix} A_{n} & = \frac{(n + α + β + 1) (n + α + 1) (N - n)}{(2 n + α + β + 1) (2 n + α + β + 2)}, \\ C_{n} & = \frac{n (n + α + β + N + 1) (n + β)}{(2 n + α + β) (2 n + α + β + 1)} \end{matrix}

とした。

差分方程式

次の差分方程式を満たす:

n (n + α + β + 1) Q_{n} (x) = B (x) Q_{n} (x + 1) - (B (x) + D (x)) Q_{n} (x) + D (x) Q_{n} (x - 1) .

但し、

\begin{matrix} B (x) & = (x + α + 1) (x - N), \\ D (x) & = x (x - β - N - 1) . \end{matrix}

ロドリゲスの公式に相当するもの

ロドリゲスの公式に相当する以下の式を満たす:

ω (x; α, β, N) Q_{n} (x) = \frac{(- 1)^{n} (β + 1)_{n}}{(- N)_{n}} \nabla^{n} ω (x; α + n, β + n, N - n) .

母関数

以下の母関数を持つ:

$_{1} F_{1} (\begin{matrix} - x \\ α + 1 \end{matrix}; - t)_{1} F_{1} (\begin{matrix} x - N \\ β + 1 \end{matrix}; t) = \sum_{n = 0}^{N} \frac{(- N)_{n}}{(β + 1)_{n} n!} Q_{n} (x; α, β, N) t^{n}$
$_{2} F_{0} (\begin{matrix} - x, - x + β + N + 1 \\ - \end{matrix}; - t)_{2} F_{0} (\begin{matrix} x - N, x + α + 1 \\ - \end{matrix}; t) = \sum_{n = 0}^{N} \frac{(- N)_{n} (α + 1)_{n}}{n!} Q_{n} (x; α, β, N) t^{n}$
${[(1 - t)^{- α - β - 1}_{3} F_{2} (\begin{matrix} \frac{1}{2} (α + β + 1), \frac{1}{2} (α + β + 2), - x \\ α + 1, - N \end{matrix}; - \frac{4 t}{(1 - t)^{2}})]}_{N} = \sum_{n = 0}^{N} \frac{(α + β + 1)_{n}}{n!} Q_{n} (x; α, β, N) t^{n}$

双対ハーン多項式との関係

テンプレート:Main 変数 $x$ と $n$ を交換することによって双対ハーン多項式 $R_{x} (λ (n); α, β, N)$ が得られる:

Q_{x} (n; α, β, N) = R_{n} (λ (x); α, β, N) .

参考文献

テンプレート:Reflist

テンプレート:Mathanalysis-stub

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[1]

ハーン多項式

目次

定義

性質

直交関係

漸化式

差分方程式

ロドリゲスの公式に相当するもの

母関数

双対ハーン多項式との関係

参考文献

ナビゲーションメニュー

ハーン多項式

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性質

直交関係

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ロドリゲスの公式に相当するもの

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