双対ハーン多項式

テンプレート:Math-stub テンプレート:出典の明記 双対ハーン多項式（そうついはーんたこうしき、テンプレート:Lang-en）は直交多項式のひとつで、アスキースキームによって体系付けられる。

定義

双対ハーン多項式は超幾何級数を用いて次のように定義される:

$R_n(\lambda (x);\gamma ,\delta ,N)={}_3{F}_2(\begin{array}{c}-n,-x,x+\gamma +\delta +1\\ \gamma +1,-N\end{array};1),x=0,1,\dots ,N.$

但し、$\lambda (x)=x(x+\gamma +\delta +1)$ とした。

性質

直交関係

$\gamma ,\delta <-1$ または $\gamma ,\delta <-N$ に対して以下の直交関係を満たす:

$\sum _{x=0}^N\frac{(2x+\gamma +\delta +1)(\gamma +1{)}_x(-N{)}_{x}N!}{(-1{)}^x(x+\gamma +\delta +1{)}_{N+1}(\delta +1{)}_{x}N!}{R}_m(\lambda (x);\gamma ,\delta ,N)R_n(\lambda (x);\gamma ,\delta ,N)=\frac{{\delta }_{mn}}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{\gamma +N}{n})(\genfrac{}{}{0ex}{}{\delta +N-n}{N-n})}.$

但し、$(a{)}_n$ はポッホハマーの記号を表す。

漸化式

以下の漸化式が成り立つ。

$\lambda (x)R_n(\lambda (x))=A_n{R}_{n+1}(\lambda (x))-(A_n+C_n)R_n(\lambda (x))+C_n{R}_{n-1}(\lambda (x)).$

但し、$R_n(\lambda (x);\gamma ,\delta ,N)$ を $R_n(\lambda (x))$ と略記し、

$\begin{array}{cc}{A}_n& =(n+\gamma +1)(n-N),\\ C_n& =n(n-\delta -N-1)\end{array}$

とした。

差分方程式

次の差分方程式を満たす:

$-n{R}_n(\lambda (x))=B(x)R_n(\lambda (x+1))-(B(x)+D(x))R_n(\lambda (x))+D(x)R_n(\lambda (x-1)).$

但し、

$\begin{array}{cc}B(x)& =\frac{(x+\gamma +1)(x+\gamma +\delta +1)(N-x)}{(2x+\gamma +\delta +1)(2x+\gamma +\delta +2)},\\ D(x)& =\frac{x(x+\gamma +\delta +N+1)(x+\delta )}{(2x+\gamma +\delta )(2x+\gamma +\delta +1)}.\end{array}$

ロドリゲスの公式に相当するもの

ロドリゲスの公式に相当する以下の式を満たす:

$\omega (x;\gamma ,\delta ,N)R_n(\lambda (x))=(\gamma +\delta +1{)}_n({\frac{\mathrm{\nabla }}{\mathrm{\nabla }\lambda (x)}}^n\omega (x;\gamma +n,\delta ,N-n)).$n

母関数

以下の母関数を持つ:

• $(1-t{)}^{N-x}{}_2{F}_1(\begin{array}{c}-x,-x-\delta \\ \gamma +1\end{array};t)=\sum _{n=0}^N\frac{(-N{)}_n}{n!}{R}_n(\lambda (x);\gamma ,\delta ,N)t^n$
• $(1-t{)}^x{}_2{F}_1(\begin{array}{c}x-N,x+\gamma +1\\ -\delta -N\end{array};t)=\sum _{n=0}^N\frac{(\gamma +1{)}_n(-N{)}_n}{(-\delta -N{)}_{n}n!}{R}_n(\lambda (x);\gamma ,\delta ,N)t^n$
• ${\left[e^t{}_2{F}_2(\begin{array}{c}-x,x+\gamma +\delta +1\\ \gamma +1,-N\end{array};-t)\right]}_N=\sum _{n=0}^N\frac{1}{n!}{R}_n(\lambda (x);\gamma ,\delta ,N)t^n$
• ${[(1-t{)}^{ϵ}{}_3{F}_2(\begin{array}{c}ϵ,-x,x+\gamma +\delta +1\\ \gamma +1,-N\end{array};\frac{t}{t-1})]}_N=\sum _{n=0}^N\frac{(ϵ{)}_n}{n!}{R}_n(\lambda (x);\gamma ,\delta ,N)t^n(\mathrm{\forall }ϵ\in ℝ)$

ハーン多項式との関係

テンプレート:Main 変数 $x$ と $n$ を交換することによってハーン多項式 $Q_n(x;\gamma ,\delta ,N)$ が得られる:

$R_x(\lambda (n);\gamma ,\delta ,N)=Q_n(x;\gamma ,\delta ,N).$