バナッハ空間の一覧のソースを表示

[[数学]]の[[函数解析学]]の分野において、'''[[バナッハ空間]]'''（バナッハくうかん、{{Lang-en-short|Banach spaces}}）は最も重要な研究対象の一つである。その他の[[解析学]]の分野においても、実際に現れる空間の多くはバナッハ空間である。

== 古典バナッハ空間 ==
{{harvtxt|Diestel|1984|loc=Chapter VII}} によると、'''古典バナッハ空間'''（classical Banach spaces）は {{harvtxt|Dunford|Schwartz|1958}} によって定義されたもので、それらを以下の表に示す。

以下の表で、{{math|'''K'''}} は[[実数|実]]または[[複素数]][[可換体|体]]を表し、{{mvar|I}} は有界閉区間 {{math|[''a'',&thinsp;''b'']}} を表す。{{mvar|p}} は {{math|1 < ''p'' < ∞}} を満たす[[実数]]で、{{mvar|q}} はその[[ヘルダーの不等式|ヘルダー共役]]（これも {{math|1 < ''q'' < ∞}} を満たす）を表す。すなわち
: <math> \frac{1}{q}+\frac{1}{p}=1\quad(\iff q=\frac{p}{p-1})</math>
である。記号 {{math|&Sigma;}} は [[完全加法族|{{mvar|&sigma;}}-集合代数]]を表し、{{math|&Xi;}} は（[[ba空間]]のような有限加法性のみが要求される空間に対する）ある集合代数を表す。また記号 {{mvar|&mu;}} は正測度、すなわち、適当な {{mvar|&sigma;}}-集合代数上で定義される可算加法的な正の実数値[[集合函数]]とする。

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ 古典バナッハ空間
|-
! !! [[双対空間|双対]] 
! style="width: 4em;" | [[回帰的空間|回帰性]] 
! style="width: 4em;" | [[弱位相|弱]][[完備距離空間|完備]]
! [[ノルム空間|ノルム]] !! 注釈
|-
! [[ユークリッド空間|{{math|'''K'''{{sup|''n''}}}}]]
| {{math|'''K'''{{exp|''n''}}}} || {{yes}} || {{yes}} || <math>\|x\|_2 = \bigg(\sum_{i=1}^n |x_i|^2\bigg)^{1/2}</math> ||
|-
! [[Lp空間|{{mvar|{{subsup|ℓ|p|n}}}}]]
| {{mvar|{{subsup|ℓ|q|n}}}} || {{yes}} || {{yes}} || <math>\|x\|_p = \bigg(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\bigg)^{1/p}</math> ||
|-
! [[Lp空間|{{mvar|{{subsup|ℓ|∞|n}}}}]]
| {{math|{{subsup|''ℓ''|1|''n''}}}} || {{yes}} || {{yes}} || <math>\|x\|_\infty = \max_{1\le i\le n} |x_i|</math> ||
|-
! [[Lp空間|{{mvar|ℓ{{exp|p}}}}]]
| {{mvar|ℓ{{exp|q}}}} || {{yes}} || {{yes}} || <math>\|x\|_p = \bigg(\sum_{i=1}^\infty |x_i|^p\bigg)^{1/p}</math> || {{math|1 < ''p'' < ∞}}
|-
! [[Lp空間|{{math|''ℓ''{{ind|1}}}}]]
| {{math|''ℓ''{{ind|∞}}}} || {{no}} || {{yes}} || <math>\|x\|_1 = \sum_{i=1}^\infty |x_i|</math> ||
|-
! [[Lp空間|{{math|''ℓ''{{ind|∞}}}}]]
| [[ba空間|{{mvar|ba}}]] 
| {{no}} || {{no}}
| rowspan="3" | <math>\|x\|_\infty = \sup_i |x_i|</math>
| rowspan="2" |
|-
! [[収束数列空間|{{mvar|c}}]]
| rowspan="2" | {{math|''ℓ''{{ind|1}}}}
| {{no}} || {{no}}
|-
! [[収束数列空間|{{math|''c''{{sub|0}}}}]]
| {{no}} || {{no}}
| {{mvar|c}} と同型であるが等長ではない。
|-
! [[有界変動|{{mvar|bv}}]]
| {{math|''ℓ''{{ind|1}}+'''K'''}} || {{no}} || {{yes}} || <math>\|x\|_{bv} = |x_1| + \sum_{i=1}^\infty|x_{i+1}-x_i|</math> ||
|-
! [[有界変動|{{math|''bv''<sub>0</sub>}}]]
| {{math|''ℓ''{{ind|1}}}} || {{no}} || {{yes}} || <math>\|x\|_{bv_0} = \sum_{i=1}^\infty|x_{i+1}-x_i|</math> ||
|-
! [[bs空間|{{mvar|bs}}]]
| {{mvar|[[ba空間|ba]]}} || {{no}} || {{no}}
| rowspan="2" | <math>\|x\|_{bs} = \sup_n\left|\sum_{i=1}^nx_i\right|</math>
| {{math|''ℓ''{{ind|∞}}}} と等長同型。
|-
! [[bs空間|{{mvar|cs}}]]
| {{math|''ℓ''{{ind|1}}}} || {{no}} || {{no}}
| {{mvar|[[収束数列空間|c]]}} と等長同型。
|-
! [[ba空間|{{math|''B''(''X'',&Xi;)}}]]
| [[ba空間|{{math|''ba''(&Xi;)}}]] || {{no}} || {{no}}
| rowspan="2" | <math>\|f\|_B = \sup_{x\in X}|f(x)|</math>
|
|-
! [[コンパクトハウスドルフ空間上の連続函数|{{math|''C''(''X'')}}]]
| [[ba空間|{{math|''rca''(''X'')}}]] || {{no}} || {{no}}
| {{mvar|X}} は[[コンパクト空間|コンパクトハウスドルフ空間]]。
|-
! [[ba空間|{{math|''ba''(&Xi;)}}]]
| ? || {{no}} || {{yes}}
| rowspan="3" | <math>\|\mu\|_{ba} = \sup_{A\in\Sigma} |\mu|(A)</math>
| rowspan="3" | {{仮リンク|測度の変動|en|total variation}}
|-
! [[ba空間|{{math|''ca''(&Sigma;)}}]]
| ? || {{no}} || {{yes}}
|-
! [[ba空間|{{math|''rca''(&Sigma;)}}]]
| ? || {{no}} || {{yes}} 
|-
! [[Lp空間|{{math|''L''{{exp|''p''}}(&mu;)}}]]
| {{math|''L''{{exp|''q''}}(&mu;)}} || {{yes}} || {{yes}} || <math>\|f\|_p = \bigg(\int |f|^p\,d\mu\bigg)^{1/p}</math> || {{math|1 < ''p'' < ∞}}
|-
! [[Lp空間|{{math|''L''{{exp|1}}(&mu;)}}]]
| {{math|''L''{{exp|∞}}(&mu;)}} || {{no}} || ? || <math>\|f\|_1 = \int |f|\,d\mu</math> || 測度 {{mvar|μ}} が {{mvar|S}} 上で {{mvar|&sigma;}}-有限である場合。
|-
! [[Lp空間|{{math|''L''{{exp|∞}}(&mu;)}}]]
| [[ba空間|{{math|{{subsup|''N''|&mu;|⊥}}}}]] || {{no}} || ? || <math>\|f\|_\infty \equiv \inf \{ C\ge 0 : |f(x)| \le C, \text{a.e. } x\}</math> || {{math|''N''{{su|b=&mu;|p=⊥}} {{=}} {{mset|&sigma; &isin; ''ba''(&Sigma;) {{Pipe}} &lambda; ≪ &mu;}}}}
|-
! [[有界変動|{{math|''BV''(''I'')}}]]
| ? || {{no}} || {{yes}} 
| rowspan="3" | <math>\|f\|_{BV} = \lim_{x\to a^+}f(x) + V_f(I)</math>
| {{math|''V{{ind|f}}''(''I'')}} は {{mvar|f}} の{{仮リンク|全変動|en|total variation}}。
|-
! [[有界変動|{{math|''NBV''(''I'')}}]]
| ? || {{no}} || {{yes}}
| {{math|''f'' &isin; ''NBV''(''I'') (&sub; ''BV''(''I''))}} ⇔ <math>\lim_{x\to a^+}f(x)=0</math>
|-
! [[絶対連続|{{math|''AC''(''I'')}}]]
| {{math|'''K'''+''L''{{sup|∞}}(''I'')}} || {{no}} || {{yes}}
| [[ソボレフ空間]] {{math|''W''{{exp|1,1}}(''I'')}} と同型。
|-
! [[微分可能函数|{{math|''C''{{exp|''n''}}(''I'')}}]]
|| [[Ba空間|{{math|''rca''(''I'')}}]] || {{no}} || {{no}} || <math>\|f\| = \sum_{i=0}^n \sup_{x\in [a,b]} |f^{(i)}(x)|</math> ||特に[[テイラーの定理]]により {{math|'''R'''{{exp|''n''}} &oplus; ''C''(''I'')}} と同型。
|}

{{clr}}

== その他の解析の分野におけるバナッハ空間 ==
* [[アスプルンド空間]]
* [[ハーディ空間]]
* {{仮リンク|有界平均振動|en|bounded mean oscillation}}の空間 {{mvar|BMO}}
* [[有界変動函数]]の空間 {{math|''BV''(&Omega;)}}
* [[ソボレフ空間]]
* [[バーンバウム＝オルリッチ空間]] {{math|''L''<sub>A</sub>(''&mu;'')}}
* [[ヘルダー条件|ヘルダー空間]] {{math|''C{{sup|k,&alpha;}}''(&Omega;)}}
* [[ローレンツ空間]]

== 反例を与えるバナッハ空間 ==
* [[ジェームズ空間]]：{{仮リンク|シャウダー基底|en|Schauder basis}}を持つが無条件シャウダー基底を持たないバナッハ空間。ジェームズ空間はその二重双対と等長同型であるが、回帰的ではない。
* {{仮リンク|チレルソン空間|en|Tsirelson space}}：[[Lp空間|ℓ<sup>''p''</sup>]]と[[数列空間|''c''<sub>0</sub>]]のいずれも埋め込むことの出来ない回帰的バナッハ空間。
* [[ウィリアム・ティモシー・ガワーズ]]により構成された、<math>X\oplus X\oplus X</math> と同型であるが <math>X\oplus X</math> と同型でないような空間 ''X'' は[[ベルンシュタインの定理|シュレーダー＝ベルンシュタインの定理]]の前提条件を弱める反例を与える<ref>W.T. Gowers, "A solution to the Schroeder–Bernstein problem for Banach spaces", ''Bulletin of the London Mathematical Society'', '''28''' (1996) pp. 297–304.</ref>。

== 注釈 ==
<references/>

== 参考文献 ==
* {{citation|title=Sequences and series in Banach spaces|first=Joseph|last=Diestel|publisher=Springer-Verlag|year=1984|isbn=0-387-90859-5}}.
* {{citation|first1=N.|last1=Dunford|first2=J.T.|last2=Schwartz|title=Linear operators, Part I|publisher=Wiley-Interscience|year=1958}}.

{{DEFAULTSORT:はなつはくうかんのいちらん}}
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[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学の一覧]]