バナッハ空間の一覧

数学の函数解析学の分野において、バナッハ空間（バナッハくうかん、テンプレート:Lang-en-short）は最も重要な研究対象の一つである。その他の解析学の分野においても、実際に現れる空間の多くはバナッハ空間である。

古典バナッハ空間

テンプレート:Harvtxt によると、古典バナッハ空間（classical Banach spaces）は テンプレート:Harvtxt によって定義されたもので、それらを以下の表に示す。

以下の表で、テンプレート:Math は実または複素数体を表し、テンプレート:Mvar は有界閉区間 テンプレート:Math を表す。テンプレート:Mvar は テンプレート:Math を満たす実数で、テンプレート:Mvar はそのヘルダー共役（これも テンプレート:Math を満たす）を表す。すなわち

$\frac{1}{q}+\frac{1}{p}=1(⟺q=\frac{p}{p-1})$

である。記号 テンプレート:Math は [[完全加法族|テンプレート:Mvar-集合代数]]を表し、テンプレート:Math は（ba空間のような有限加法性のみが要求される空間に対する）ある集合代数を表す。また記号 テンプレート:Mvar は正測度、すなわち、適当な テンプレート:Mvar-集合代数上で定義される可算加法的な正の実数値集合函数とする。

古典バナッハ空間

	双対	回帰性	弱完備	ノルム	注釈
[[ユークリッド空間|テンプレート:Math]]	テンプレート:Math	テンプレート:Yes	テンプレート:Yes	$\Vert x{\Vert }_2=(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^2{)}^{1/2}$
[[Lp空間|テンプレート:Mvar]]	テンプレート:Mvar	テンプレート:Yes	テンプレート:Yes	$\Vert x{\Vert }_p=(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p{)}^{1/p}$
[[Lp空間|テンプレート:Mvar]]	テンプレート:Math	テンプレート:Yes	テンプレート:Yes	$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{1\le i\le n}{\max }|x_i|$
[[Lp空間|テンプレート:Mvar]]	テンプレート:Mvar	テンプレート:Yes	テンプレート:Yes	$\Vert x{\Vert }_p=(\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_i{|}^p{)}^{1/p}$	テンプレート:Math
[[Lp空間|テンプレート:Math]]	テンプレート:Math	テンプレート:No	テンプレート:Yes	$\Vert x{\Vert }_1=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_i|$
[[Lp空間|テンプレート:Math]]	[[ba空間|テンプレート:Mvar]]	テンプレート:No	テンプレート:No	$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{i}{\sup }|x_i|$
[[収束数列空間|テンプレート:Mvar]]	テンプレート:Math	テンプレート:No	テンプレート:No
[[収束数列空間|テンプレート:Math]]		テンプレート:No	テンプレート:No		テンプレート:Mvar と同型であるが等長ではない。
[[有界変動|テンプレート:Mvar]]	テンプレート:Math	テンプレート:No	テンプレート:Yes	$\Vert x{\Vert }_{bv}=|x_1|+\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_{i+1}-x_i|$
[[有界変動|テンプレート:Math]]	テンプレート:Math	テンプレート:No	テンプレート:Yes	$\Vert x{\Vert }_{b{v}_0}=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_{i+1}-x_i|$
[[bs空間|テンプレート:Mvar]]	テンプレート:Mvar	テンプレート:No	テンプレート:No	$\Vert x{\Vert }_{bs}=\underset{n}{\sup }\left|\sum _{i=1}^n{x}_i\right|$	テンプレート:Math と等長同型。
[[bs空間|テンプレート:Mvar]]	テンプレート:Math	テンプレート:No	テンプレート:No		テンプレート:Mvar と等長同型。
[[ba空間|テンプレート:Math]]	[[ba空間|テンプレート:Math]]	テンプレート:No	テンプレート:No	$\Vert f{\Vert }_B=\underset{x\in X}{\sup }|f(x)|$
[[コンパクトハウスドルフ空間上の連続函数|テンプレート:Math]]	[[ba空間|テンプレート:Math]]	テンプレート:No	テンプレート:No		テンプレート:Mvar はコンパクトハウスドルフ空間。
[[ba空間|テンプレート:Math]]	?	テンプレート:No	テンプレート:Yes	$\Vert \mu {\Vert }_{ba}=\underset{A\in \mathrm{\Sigma }}{\sup }|\mu |(A)$	テンプレート:仮リンク
[[ba空間|テンプレート:Math]]	?	テンプレート:No	テンプレート:Yes
[[ba空間|テンプレート:Math]]	?	テンプレート:No	テンプレート:Yes
[[Lp空間|テンプレート:Math]]	テンプレート:Math	テンプレート:Yes	テンプレート:Yes	$\Vert f{\Vert }_p=(\int |f{|}^{p}d\mu {)}^{1/p}$	テンプレート:Math
[[Lp空間|テンプレート:Math]]	テンプレート:Math	テンプレート:No	?	$\Vert f{\Vert }_1=\int |f|d\mu$	測度 テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar 上で テンプレート:Mvar-有限である場合。
[[Lp空間|テンプレート:Math]]	[[ba空間|テンプレート:Math]]	テンプレート:No	?	$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\equiv \inf \{C\ge 0:|f(x)|\le C,\text{a.e. }x\}$	テンプレート:Math
[[有界変動|テンプレート:Math]]	?	テンプレート:No	テンプレート:Yes	$\Vert f{\Vert }_{BV}=\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)+V_f(I)$	テンプレート:Math は テンプレート:Mvar のテンプレート:仮リンク。
[[有界変動|テンプレート:Math]]	?	テンプレート:No	テンプレート:Yes		テンプレート:Math ⇔ $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=0$
[[絶対連続|テンプレート:Math]]	テンプレート:Math	テンプレート:No	テンプレート:Yes		ソボレフ空間 テンプレート:Math と同型。
[[微分可能函数|テンプレート:Math]]	[[Ba空間|テンプレート:Math]]	テンプレート:No	テンプレート:No	$\Vert f\Vert =\sum _{i=0}^n\underset{x\in [a,b]}{\sup }|f^{(i)}(x)|$	特にテイラーの定理により テンプレート:Math と同型。

その他の解析の分野におけるバナッハ空間

• アスプルンド空間
• ハーディ空間
• テンプレート:仮リンクの空間 テンプレート:Mvar
• 有界変動函数の空間 テンプレート:Math
• ソボレフ空間
• バーンバウム＝オルリッチ空間 テンプレート:Math
• ヘルダー空間 テンプレート:Math
• ローレンツ空間

反例を与えるバナッハ空間

• ジェームズ空間：テンプレート:仮リンクを持つが無条件シャウダー基底を持たないバナッハ空間。ジェームズ空間はその二重双対と等長同型であるが、回帰的ではない。
• テンプレート:仮リンク：ℓ^pとc₀のいずれも埋め込むことの出来ない回帰的バナッハ空間。
• ウィリアム・ティモシー・ガワーズにより構成された、$X\oplus X\oplus X$ と同型であるが $X\oplus X$ と同型でないような空間 X はシュレーダー＝ベルンシュタインの定理の前提条件を弱める反例を与える。

参考文献

• テンプレート:Citation.
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