ヘルダーの不等式

テンプレート:出典の明記 解析学におけるヘルダーの不等式（ヘルダーのふとうしき、テンプレート:Lang-en-short）とは、数列や可測関数の間に成り立つ最も基本的な不等式の一つであり、測度空間上の[[Lp空間|Lテンプレート:Sup空間]]の構造の解析などにしばしば用いられる。オットー・ヘルダーに因んでこの名前が付いている。

歴史的には1888年にレオナルド・J・ロジャーズによって発見された。さらにその翌年に、ロジャースに触発されたヘルダーによって、イェンセンの不等式の紹介と凸関数と凹関数の発展に関する書籍内で別の証明がもたらされたテンプレート:Sfn。

積分形のヘルダーの不等式

(Ω, μ) を測度空間とし、テンプレート:Math2 を テンプレート:Math2 なる実数とする。（テンプレート:Math2 のとき テンプレート:Math2 とする。）Ω 上の可測関数 テンプレート:Math2 について、

$\Vert fg{\Vert }_{L^1(\mathrm{\Omega },\mu )}\le \Vert f{\Vert }_{L^p(\mathrm{\Omega },\mu )}\Vert g{\Vert }_{L^q(\mathrm{\Omega },\mu )}.$

が成り立つ。これは、左辺が無限大になる場合も込めて成立する不等式であり、特に テンプレート:Mvar が Lテンプレート:Sup級、テンプレート:Mvar が Lテンプレート:Sup級関数のときに テンプレート:Mvar は テンプレート:Math級関数になることを主張している。このような テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の関係は共役指数と呼ばれる。テンプレート:Math2 の場合のこの不等式はコーシー・シュワルツの不等式と呼ばれる。

この形でのヘルダーの不等式は積に対するヤングの不等式から以下のようにして導くことができる：テンプレート:Math2 をノルム 1 のそれぞれLテンプレート:Sup関数、Lテンプレート:Sup関数とし、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar を互いに共役な指数とする。ヤングの不等式によって

$|fg(x)|\le \frac{|f(x){|}^p}{p}+\frac{|g(x){|}^q}{q}$

が成り立っており、テンプレート:Mvar に関する積分によって

$\Vert fg{\Vert }_1\le \frac{\Vert f{\Vert }_p^p}{p}+\frac{\Vert g{\Vert }_q^q}{q}=1=\Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q$

が得られる。一般の関数に対するヘルダーの不等式は、2つの関数を定数倍する操作に対して両辺の項が同じ応答を示すことから、上の場合に帰着できる。

ヘルダーの不等式の特別な形

測度空間 テンプレート:Math2 が可算集合とその上の数え上げ測度によって与えられるとき、テンプレート:Math 上の可測関数とは テンプレート:Math の元によって添字づけられた数列のことになり、Lテンプレート:Supノルムは 数列の lテンプレート:Subノルムのことになる。テンプレート:Math2 を共役指数の対、テンプレート:Math2 とするとヘルダーの不等式は

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|a_k{b}_k|\le {(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|a_k{|}^p)}^{1/p}{(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|b_k{|}^q)}^{1/q}$

の形に表される。また テンプレート:Math2 のときは、逆向きの不等式が成り立つ。

また、テンプレート:Math2 とすれば、

${(\sum _{k=1}^n|a_k|)}^p\le n^{p-1}\sum _{k=1}^n|a_k{|}^p$

を得ることができる。例えば テンプレート:Math2 のときは、正の実数 テンプレート:Math2 に対して

$(a+b{)}^p\le 2^{p-1}(a^p+b^p)$

となる。またこれらは テンプレート:Math2 のときには同様に逆向きの不等式が成り立つ。

$\sum _{i=1}^n\frac{1}{p_i}=1$ のとき、

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\left|\prod _{i=1}^n{a}_{ki}\right|\le \prod _{i=1}^n{(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|a_{ki}{|}^{p_i})}^{1/p_i}$

が成り立つ。ただし、各 テンプレート:Mvar は正とする。

確率空間 テンプレート:Math2 上の期待値を与える作用素を E とすると、確率変数 テンプレート:Math2 についてのヘルダーの不等式は

$E|XY|\le (E|X{|}^p{)}^{\frac{1}{p}}(E|Y{|}^p{)}^{\frac{1}{p}}$

となる。この特別な場合として、テンプレート:Math なる数について

$E|X{|}^r\le (E|X{|}^s{)}^{\frac{r}{s}}$

が成り立つ。これは テンプレート:Math2 と確率変数 テンプレート:Math と テンプレート:Math について上の式を適用することによって得られる。

一般化

テンプレート:Math2 で テンプレート:Math2 とし、テンプレート:Math2 に対して テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar に属しているとする。このとき テンプレート:Math2 までの積は テンプレート:Mvar に属し、

${\Vert \prod _{k=1}^n{f}_k\Vert }_{L^p}\le \prod _{k=1}^n\Vert f_k{\Vert }_{L^{p_k}}$

が成り立つ。

例

テンプレート:Math2 に対して、一般化されたヘルダーの不等式を適用することにより次を得る。

テンプレート:Math2 で、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar かつ テンプレート:Mvar に属しているとすると、任意の テンプレート:Math2 に対して テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar に属し、テンプレート:Math2 なる テンプレート:Math2 に対して

$\Vert f{\Vert }_{L^r}\le \Vert f{\Vert }_{L^p}^{\alpha }\Vert f{\Vert }_{L^q}^{1-\alpha }$

が成り立つ。

関連項目

• 不等式
• コーシー＝シュワルツの不等式
• ミンコフスキーの不等式
• ヤングの不等式
• Lp空間

参考文献

• テンプレート:Citation
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• テンプレート:Citation. Available at Digi Zeitschriften
• テンプレート:Springer.
• テンプレート:Narici Beckenstein Topological Vector Spaces
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外部リンク

• テンプレート:高校数学の美しい物語
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