ミンコフスキーの不等式

数学の関数解析学におけるミンコフスキーの不等式（ミンコフスキーのふとうしき、テンプレート:Lang-en）とは、[[Lp空間|Lテンプレート:Sup空間]]がノルム線型空間であることを述べる、数学の定理である。三角不等式の一般化とも言える。数学者ヘルマン・ミンコフスキーに因む。

定理の内容

S を測度空間、1 ≦ p ≦ ∞ を任意の実数、f と g を Lテンプレート:Sup(S) の要素すなわち p乗可積分関数とする。このとき f + g も Lテンプレート:Sup(S) に含まれ、

$\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p$

が成立する。 1 < p < ∞ における等号成立の必要十分条件は、f と g が正の線形従属であること、すなわち、ある c ≧ 0 が存在して f = c・g もしくは g = c・f と書けることである。これらの事実から、ミンコフスキーの不等式とはL^p(S)に対する三角不等式の一般化と言える。

ヘルダーの不等式と同様、ミンコフスキーの不等式も数え上げ測度によって有限次元ベクトル空間における特別な場合を考えることができる：

${(\sum _{k=1}^n|x_k+y_k{|}^p)}^{1/p}\le {(\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p)}^{1/p}+{(\sum _{k=1}^n|y_k{|}^p)}^{1/p}$

ここで xテンプレート:Sub, …, xテンプレート:Sub, yテンプレート:Sub, …, yテンプレート:Sub は任意の実数または複素数であり、n はベクトル空間の次元である。

証明

最初に、補題「f と g の p 乗ノルムが共に有限ならば f + g もそうである」を示さなければならない。まず h(x) = xテンプレート:Sup (p > 1) が正の実数の集合Rテンプレート:Sup における凸関数であることから、正の a, b に対し

${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^p\le \frac{a^p+b^p}{2}$

が従う。これを 2テンプレート:Sup 倍して (a + b)テンプレート:Sup ≦ 2テンプレート:Sup aテンプレート:Sup + 2テンプレート:Supbテンプレート:Sup を得るが、これは先の補題の成立を示す。

こうして $\Vert f+g{\Vert }_p$ というものが意味を持つようになった。もしそれが零ならば不等式は自明に成り立つので、非零の場合を考える。まず

$\Vert f+g{\Vert }_p^p=\int |f+g{|}^p\mathrm{d}\mu$

$\le \int (|f|+|g|)|f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu$

$=\int |f||f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu +\int |g||f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu \cdots (*)$

であり、ここでヘルダーの不等式を使うと

$(*)\le ({(\int |f{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{1/p}+{(\int |g{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{1/p}){(\int |f+g{|}^{(p-1)\left(\frac{p}{p-1}\right)}\mathrm{d}\mu )}^{1-\frac{1}{p}}$

$=(\Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p)\frac{\Vert f+g{\Vert }_p^p}{\Vert f+g{\Vert }_p}$

となる。こうしてミンコフスキーの不等式（の定数倍）が得られた。

ミンコフスキーの積分不等式

$(S_1,{\mu }_1)$, $(S_2,{\mu }_2)$ はσ-有限な測度空間で、関数 $F:S_1\times S_2\to ℝ$ は可測とする。 $F\ge 0$ かつ $1\le p<\mathrm{\infty }$ ならば次が成り立つ：

${[\underset{S_1}{\int }{(\underset{S_2}{\int }F(x,y){\mu }_2(y))}^p{\mu }_1(x)]}^{\frac{1}{p}}\le \underset{S_2}{\int }{[\underset{S_1}{\int }F(x,y{)}^p{\mu }_1(x)]}^{\frac{1}{p}}{\mu }_2(y)$

$1\le p\le \mathrm{\infty }$ であって、ほとんど全ての $y\in S_2$ に対して $F(\cdot ,y)\in L^p(S_1)$ 、かつ関数 $y\mapsto \Vert F(\cdot ,y){\Vert }_p$ は $L^1(S_2)$ に属するならば、ほとんど全ての $x\in S_1$ に対して $F(x,\cdot )\in L^1(S_2)$ 、かつ関数 $x\mapsto \int F(x,y)d{\mu }_2(y)$ は $L^p(S_1)$ であって、次の不等式が成り立つ：

${\Vert \underset{S_2}{\int }F(\cdot ,y)d{\mu }_2(y)\Vert }_p\le \underset{S_2}{\int }{\Vert F(\cdot ,y)\Vert }_{p}d{\mu }_2(y)$

参考文献

• テンプレート:Cite book（テンプレート:Cite book第二版の邦訳。索引の追加あり。）
• H. Minkowski, Geometrie der Zahlen, Chelsea, reprint (1953)
• Voitsekhovskii, M.I. (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104

関連項目

• ヘルダーの不等式
• ヤングの不等式
• コーシー＝シュワルツの不等式
• 不等式
• Lp空間

外部リンク

• テンプレート:高校数学の美しい物語