有界変動函数

解析学における有界変動の函数（ゆうかいへんどうのかんすう、テンプレート:Lang-en-short）あるいは有界変動函数（テンプレート:Math-function; BV函数）は、その変動が有界、すなわちテンプレート:仮リンクが有限値となるような実数値函数を言う。この性質は函数のグラフが以下に述べる意味において素性のよい (well behaved) ものであることを述べるものである。話を一変数の連続函数に限定すれば、有界変動であることはその連続函数のグラフ上を奔る動点の（[[x軸|テンプレート:Mvar-軸]]方向への寄与分は無視して）[[y軸|テンプレート:Mvar-軸]]方向への移動距離が有限であることを意味する。多変数の連続函数の場合にもこれは同様の意味を持つのであるが、考えるべき動点の辿る連続な路としては、与えられた函数のグラフ全体（今の場合これは超曲面になる）を取ることができないという事実があるので、函数のグラフと固定された テンプレート:Mvar-軸および テンプレート:Mvar-軸に平行な任意の超平面との交叉を取る必要がある。

• 有界変動の函数があれば、その函数に関するリーマン–スティルチェス積分が任意の連続函数に対して定められる。
• 別な特徴付けとして、有界閉区間（コンパクト区間）上の有界変動函数は二つの有界単調増大函数の差として表される。

多変数の場合、開集合上定義された函数が有界変動となるのは、その函数の弱微分（超函数の意味での微分）がベクトル値の有限ラドン測度となるときである。

有界変動函数の最も重要な側面の一つは、その全体が殆ど至る所一階微分の存在する不連続函数の成す函数環に一致することである。この事実により、数学・物理学・工学などにおける汎函数・常および偏微分方程式を含む非線型問題の弱解を定めるのに有界変動函数を用いることが可能で、しばしば用いられる。テンプレート:仮リンク問題やより一般の超函数に対する一般非線型演算の定義問題を考えるとき、有界変動函数の環は、乗法の結果を保つ任意の超函数空間に埋め込まれるべき最小の函数環である。

歴史

Boris Golubov によれば、一変数の有界変動函数を初めて導入したのはカミーユ・ジョルダンで、フーリエ級数の収束を扱った論文 テンプレート:Harv においてである。多変数函数に対する有界変動の概念の一般化に成功した最初の段階はレオニダ・トネリによるもの で、トネリは1926年に、変分法における問題の解を求めるための、自身の直接法を多変数に拡張するために、連続有界変動函数のクラスを導入したテンプレート:Harv。テンプレート:Harvtxt はトネリの定義における連続性の仮定をより制限の緩い「可積分性」の要求に置き換えて、全く一般の多変数有界変動函数のクラスを初めて得ている。ジョルダンがかつてしたように、チェザリはこれをフーリエ級数の収束問題の解法に用いたが、それは「二変数」の函数に対するものであった。チェザリ以降、さまざまな数学者たちが、有界変動函数を多変数のフーリエ級数、テンプレート:仮リンク、変分法および数理物理学に応用した。テンプレート:仮リンクとエンニオ・デ・ジョルジは、集合の滑らかでない境界の測度を定義するために有界変動函数を用いた（詳細は テンプレート:仮リンクの項を参照）。テンプレート:Harvtxt は非線型偏微分方程式に対する弱解として有界変動函数の空間 テンプレート:Mvar から取った函数を見る観点を導入し、論文 テンプレート:Harv で一階偏微分方程式の有界変動な弱解の構成に成功した。テンプレート:Harvtxt は一変数の一階非線型双曲型偏微分方程式の研究に有界変動函数を応用し、そのような方程式の（初期値が有界変動のクラスに属するという仮定のもとでの）コーシー問題の解が有界変動函数であることを示した。テンプレート:仮リンクは有界変動函数に対するより広汎な解析学を展開した。論文 テンプレート:Harv において有界変動函数に対する連鎖律が証明され、弟子との共著 テンプレート:Harv において有界変動函数の性質とその応用について広く調べられている。この連鎖律の公式は後に テンプレート:Harvtxt によって拡張されている。

定義

一変数の場合

定義 テンプレート:EquationRef (全変動)

実数直線内の区間 テンプレート:Math 上で定義された実数値（あるいはより一般に複素数値）函数 テンプレート:Mvar のテンプレート:仮リンク テンプレート:Math は $$V_a^b(f):=\underset{P\in 𝒫}{\sup }\sum _{i=0}^{n_P-1}|f(x_{i+1})-f(x_i)|$$ で定義される量である。ここにテンプレート:仮リンクは与えられた区間の分割の全体 テンプレート:Math に亙ってとるものとする。

テンプレート:Mvar が微分可能かつその導函数がリーマン可積分ならば、テンプレート:Mvar の全変動はグラフの弧長の垂直成分 $V_a^b(f)={\int }_a^b|f^{\prime }(x)|𝑑𝑥$ に等しい。

定義 テンプレート:EquationRef (有界変動函数)

実数直線上で定義された実数値函数 テンプレート:Mvar が、与えられた区間 テンプレート:Math 上で有界変動であるとは、その区間における テンプレート:Mvar の全変動が有限となるときに言う。記号で書けば、$$f\in BV([a,b])\stackrel{\text{def}}{⟺}{V}_a^b(f)<+\mathrm{\infty }.$$

実函数 テンプレート:Mvar が テンプレート:Math 上で有界変動となるための必要十分条件が、テンプレート:Math 上で広義単調増大な二つの函数の差 テンプレート:Math に書けることであることが示せる。このような差への分解を（函数の）ジョルダン分解 と呼び、測度のジョルダン分解と関連する。

スティルチェス積分を考えることにより、閉区間 テンプレート:Math 上の任意の有界変動函数は連続函数の空間 テンプレート:Math 上の有界線型汎函数を定める。その特別の場合として、リースの表現定理は任意の有界線型汎函数がこの方法で一意に得られることを述べる。正規化された正値函数あるいは確率測度は広義単調増大下半連続な正値函数に対応する。このような観点はスペクトル論において、特にテンプレート:仮リンクへの応用において重要である。

多変数の場合

多変数の函数が有界変動であるとは、その超函数微分がテンプレート:仮リンクラドン測度となるときに言う。より精確に:

定義 テンプレート:EquationRef (多変数の有界変動函数)

テンプレート:Math を テンプレート:Math の開集合とする。可積分函数 テンプレート:Math が有界変動、すなわち テンプレート:Math であるとは、テンプレート:仮リンクベクトル値ラドン測度 テンプレート:Math が存在して、以下の等式 $$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }u(x)\mathrm{div}\phi (x)𝑑𝑥=-\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }⟨\phi ,Du(x)⟩(\mathrm{\forall }\phi \in C_c^1(\mathrm{\Omega },{ℝ}^n)$$ を満たすときに言う。

つまり、テンプレート:Mvar は積分により テンプレート:Math に含まれるコンパクト台を持つ連続的微分可能ベクトル値函数の空間 テンプレート:Math 上の線型汎函数を定めるが、したがってベクトル測度 テンプレート:Mvar はシュヴァルツ超函数としての テンプレート:Mvar の微分あるいは弱勾配である。

全変動による同値な定義もできる:

定義 テンプレート:EquationRef (多変数の全変動)

可積分函数 テンプレート:Math の テンプレート:Math におけるテンプレート:仮リンク は $$V(u,\mathrm{\Omega })=V_{\mathrm{\Omega }}(u):=\sup \{\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }u(x)\mathrm{div}\phi (x)𝑑𝑥:\phi \in C_c^1(\mathrm{\Omega },{ℝ}^n),\Vert \phi {\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le 1\}$$ で定義される。ここに、テンプレート:Math は テンプレート:Math 上の本質的上限ノルムである。

テンプレート:仮リンクの理論などでは、これが テンプレート:Mvar の弱勾配 テンプレート:Mvar の全変動であることを強調するために テンプレート:Math のように書くこともある。同じ記号は テンプレート:Mvar が テンプレート:Math-級（つまり連続かつ微分可能であって、導函数も連続）のときにも用いられ、この場合には実際に テンプレート:Mvar の（真の）勾配の絶対値の積分になっている。

このとき、有界変動函数全体の成す空間は $$BV(\mathrm{\Omega })=\{u\in L^1(\mathrm{\Omega }):V(u,\mathrm{\Omega })<+\mathrm{\infty }\}$$ と定義することができる。

この二つの定義が同値であることは以下のようにしてわかる。テンプレート:Math ならば $$|\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }u(x)\mathrm{div}\phi (x)𝑑𝑥|\le V(u,\mathrm{\Omega })\Vert \phi {\Vert }_{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\forall }\phi \in C_c^1(\mathrm{\Omega },{ℝ}^n),$$ したがって テンプレート:Math は空間 テンプレート:Math 上の連続線型汎函数を定める。テンプレート:Math は線型部分空間であるから、ハーン–バナッハの定理により、先ほどの連続線型汎函数は テンプレート:Math の全体まで連続かつ線型に延長できる。従って、この連続線型汎函数はテンプレート:仮リンクによりラドン測度を定義する。

局所有界変動

先の定義 テンプレート:EquationNote, テンプレート:EquationNote, テンプレート:EquationNote において、大域可積分函数を考える代わりに局所可積分函数の空間 テンプレート:Math を考えれば局所有界変動函数の空間が定まる。具体的に、定義 テンプレート:EquationNote に対してこのような考えを適用するとき、テンプレート:Math の（有限次元線型空間の標準位相に関する）前コンパクト開部分集合 テンプレート:Math における局所変動 (テンプレート:En) は $$V(u,U)=V_U(u):=\sup \{\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }u(x)\mathrm{div}\phi (x)𝑑𝑥:\phi \in C_c^1(U,{ℝ}^n),\Vert \phi {\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le 1\}$$ として定義され、対応する局所有界変動函数のクラスが $$B{V}_{\text{loc}}(\mathrm{\Omega })=\{u\in L_{\text{loc}}^1(\mathrm{\Omega }):V(u,U)<+\mathrm{\infty }(\mathrm{\forall }U\in {𝒪}_c(\mathrm{\Omega }))\}$$ として定まる。

記法についての注意

局所および大域の有界変動函数の空間を表す記号法について、基本的には二つの異なる規約が存在し、困ったことにそれら二つはよく似ている。一つは本項でも用いた記法であり、例えば テンプレート:Harvtxt (partially), テンプレート:Harvtxt (partially), テンプレート:Harvtxt で用いられているものだが、

• テンプレート:Math は大域有界変動函数の空間を表し
• テンプレート:Math が局所有界変動函数の空間を表す

というものである。いま一つは、テンプレート:Harvtxt および テンプレート:Harvtxt (partially) で用いられたもので、

• テンプレート:Math で大域有界変動函数の空間を表し、
• テンプレート:Math が局所有界変動函数の空間を表す

というものである。

一般化

重み付き有界変動函数

テンプレート:仮リンクの概念を一般化して、重み付き全変動を考えることができる。より精確に、任意の単調増大函数 テンプレート:Math で テンプレート:Math を満たすものをテンプレート:仮リンクとし、テンプレート:Math は実数直線内の区間 テンプレート:Math 上で定義されノルム空間 テンプレート:Mvar に値を取る函数とする。このとき、テンプレート:Mvar の テンプレート:Math 上の テンプレート:Mvar-変動は $$V_{\phi ,[0,T]}(f):=\sup \sum _{j=0}^k\phi (\Vert f(t_{j+1})-f(t_j){\Vert }_X)$$ で定義される。ここで、ふつうは、上限 sup は[[区間の分割|区間 テンプレート:Math の有限分割]]（すなわち テンプレート:Math を満たす実数 テンプレート:Mvar からなる有限集合）全てを亙ってとる。

もともとの全変動は重み函数 テンプレート:Mvar が恒等写像で与えられる特別な種類の テンプレート:Mvar-変動として考えることができる。そこで可積分函数 テンプレート:Mvar が重み テンプレート:Mvar に関する重み付き有界変動函数あるいは重み テンプレート:Mvar-付き有界変動函数、テンプレート:Mvar-BV函数とは、その テンプレート:Mvar-変動が有限となることと定める。

$f\in B{V}_{\phi }([0,T];X)⟺V_{\phi ,[0,T]}(f)<+\mathrm{\infty }.$

空間 テンプレート:Math はノルム $$\Vert f{\Vert }_{B{V}_{\phi }}:=\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}+V_{\phi ,[0,T]}(f)$$ に関して位相線型空間を成す。ただし、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の上限ノルムである。重み付き有界変動函数を導入し完全に一般に研究したのは テンプレート:Harvtxt である（Laurence Chisholm Young は正整数 テンプレート:Mvar に対する テンプレート:Math の場合に先駆的な研究を残した）。

特殊有界変動函数

特殊有界変動函数（SBV函数）は自由不連続性変分問題を扱った論文 テンプレート:Harvtxt で導入された。与えられた開集合 テンプレート:Math に対して特殊有界変動函数の空間 テンプレート:Math は テンプレート:Math の真の部分空間になる。というのも、その空間に属する各函数の弱勾配は、以下の定義に見るように、 テンプレート:Mvar-次元の台と テンプレート:Math-次元の台を持つ測度の（中間次元の項を持たない）和に表されるからである。

定義

局所可積分函数 テンプレート:Mvar が テンプレート:Math に属するとは、以下の二条件がともに満足されることを言う:

1. 二つのテンプレート:仮リンク テンプレート:Math が存在して $$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f|d{H}^n+\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|g|d{H}^{n-1}<+\mathrm{\infty }$$ を満たす。
2. テンプレート:Math に含まれるコンパクト台を持つ任意の連続的微分可能ベクトル値函数 テンプレート:Mvar, すなわち任意の テンプレート:Math に対して、等式 $$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }u\mathrm{div}\varphi d{H}^n=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }⟨\varphi ,f⟩d{H}^n+\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }⟨\varphi ,g⟩d{H}^{n-1}$$ が成り立つ。

ここで テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar-次元テンプレート:仮リンクである。

特殊有界変動函数の性質の詳細は参考文献節に挙げられた文献を参照、特に論文 テンプレート:Harv には有用な参考文献が挙げられている。

有界変動数列

バナハ空間の例として テンプレート:Harvtxt は有界変動函数の空間に加えて有界変動数列の空間を考える。実または複素数列 テンプレート:Math の全変動は $$V_T(x)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_{i+1}-x_i|$$ で定義される。全変動が有限であるような数列全体の成す空間 テンプレート:Mvar は $$\Vert x{\Vert }_{bv}=|x_1|+V_T(x)=|x_1|+\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_{i+1}-x_i|$$ で定められるノルムに関してバナッハ空間を成す。

全変動それ自体も テンプレート:Mvar の適当な部分空間上のノルムを定める。すなわち、テンプレート:Math なる数列 テンプレート:Math 全体の成す空間 テンプレート:Math 上のノルムが $$\Vert x{\Vert }_{b{v}_0}=V_T(x)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_{i+1}-x_i|$$ で与えられる。このノルムに関して テンプレート:Math もバナッハ空間となる。

有界変動測度

可測空間 テンプレート:Math 上の符号付き測度（あるいは複素測度）テンプレート:Mvar が有界変動であるとは、そのテンプレート:仮リンク テンプレート:Math が有限となるときに言う（詳細は テンプレート:Harvtxt, テンプレート:Harvtxt を参照）。

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
• エンニオ・デ・ジョルジ
• ヘリーの選択定理
• 局所可積分函数
• ルベーグ空間 テンプレート:Math
• ルベーグ–スティルチェス積分
• ラドン測度
• テンプレート:仮リンク
• リーマン–スティルチェス積分
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク

参考文献

理論

• テンプレート:Citation.
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• テンプレート:Citation. Includes a discussion of the functional-analytic properties of spaces of functions of bounded variation.
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• テンプレート:Citation, particularly part I, chapter 1 "Functions of bounded variation and Caccioppoli sets". A good reference on the theory of Caccioppoli sets and their application to the Minimal surface problem.
• テンプレート:Citation. The link is to a preview of a later reprint by Springer-Verlag.
• テンプレート:Citation. The whole book is devoted to the theory of テンプレート:Math functions and their applications to problems in mathematical physics involving discontinuous functions and geometric objects with non-smooth boundaries.
• テンプレート:Citation. Maybe the most complete book reference for the theory of テンプレート:Math functions in one variable: classical results and advanced results are collected in chapter 6 "Bounded variation" along with several exercises. The first author was a collaborator of Lamberto Cesari.
• テンプレート:Citation.
• テンプレート:Citation. One of the most complete monographs on the theory of Young measures, strongly oriented to applications in continuum mechanics of fluids.
• テンプレート:Citation; particularly chapter 6, "On functions in the space テンプレート:Math". One of the best monographs on the theory of Sobolev spaces.
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation. In this paper, Musielak and Orlicz developed the concept of weighted テンプレート:Math functions introduced by Laurence Chisholm Young to its full generality.
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation. A seminal paper where Caccioppoli sets and テンプレート:Math functions are thoroughly studied and the concept of functional superposition is introduced and applied to the theory of partial differential equations: it was also translated in English as テンプレート:Citation.

歴史

• テンプレート:Citation.
• テンプレート:Citation. In this paper, the authors prove the compactness of the space of SBV functions.
• テンプレート:Citation. A paper containing a very general chain rule formula for composition of BV functions.
• テンプレート:Citation (with English summary). "A new kind of functional in the calculus of variations" (English translation of the title) is the first paper on the テンプレート:Math functions and related variational problems.
• テンプレート:Citation. Available at Numdam. In the paper "On the functions of bounded variation" (English translation of the title) Cesari he extends the now called Tonelli plane variation concept to include in the definition a subclass of the class of integrable functions.
• テンプレート:Citation. "The work of Leonida Tonelli and his influence on scientific thinking in this century" (English translation of the title) is an ample commemorative article, reporting recollections of the Author about teachers and colleagues, and a detailed survey of his and theirs scientific work, presented at the International congress in occasion of the celebration of the centenary of birth of Mauro Picone and Leonida Tonelli (held in Rome on May 6–9, 1985).
• テンプレート:Citation. An important paper where properties of BV functions were applied to obtain a global in time existence theorem for single hyperbolic equations of first order in any number of variables.
• テンプレート:Citation. "Free-discontinuity variational problems" (English translation of the title) is a survey paper on free-discontinuity variational problems including several details on the theory of SBV functions, their applications and a rich bibliography.
• テンプレート:Citation. "On the definitions and properties of functions of bounded variation of two variables" (English translation of the title) is a paper surveying the many different definitions of "Total variation" and associated functions of bounded variation: this is the first part (Note I).
• テンプレート:Citation. "On the definitions and properties of functions of bounded variation of two variables" (English translation of the title) is a paper surveying the many different definitions of "Total variation" and associated functions of bounded variation: this is the second part (Note II).
• テンプレート:Citation (at Gallica). This is, according to Boris Golubov, the first paper on functions of bounded variation.
• テンプレート:Citation (in Russian). An important paper where the author describes generalized solutions of nonlinear partial differential equations as テンプレート:Math functions.
• テンプレート:Citation (in Russian). An important paper where the author constructs a weak solution in BV for a nonlinear partial differential equation with the method of vanishing viscosity.
• Tony F. Chan and Jianhong (Jackie) Shen (2005), Image Processing and Analysis - Variational, PDE, Wavelet, and Stochastic Methods, SIAM Publisher, ISBN 0-89871-589-X (with in-depth coverage and extensive applications of Bounded Variations in modern image processing, as started by Rudin, Osher, and Fatemi).

外部リンク

理論

• テンプレート:SpringerEOM
• テンプレート:Planetmath reference.
• テンプレート:MathWorld
• Function of bounded variation at Encyclopedia of Mathematics

その他

• Luigi Ambrosio home page at the Scuola Normale Superiore, Pisa. Academic home page (with preprints and publications) of one of the contributors to the theory and applications of BV functions.
• Research Group in Calculus of Variations and Geometric Measure Theory, Scuola Normale Superiore, Pisa.