ヘリーの選択定理

数学におけるヘリーの選択定理（ヘリーのせんたくていり、テンプレート:Lang-en-short）は、局所的に有界変動函数であり、ある点において一様有界であるような函数は収束テンプレート:仮リンクを持つ、ということを述べた定理である。言い換えると、空間 BV_loc に対するコンパクト性定理である。オーストラリアの数学者であるエードゥアルト・ヘリーの名にちなむ。

この定理は解析学において広く応用されている。確率論において、この結果は緊密な測度の族のコンパクト性を意味する。

定理の内容

U を実数直線のある開部分集合とし、f_n : U → R, n ∈ N を函数列とする。次を仮定する。

• (f_n) は U にコンパクトに埋め込まれる任意の W 上の一様有界テンプレート:仮リンクとする。すなわち、コンパクトな閉包を持つすべての集合 W ⊆ U に対して

$\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }({\Vert f_n\Vert }_{L^1(W)}+{\Vert \frac{\mathrm{d}{f}_n}{\mathrm{d}t}\Vert }_{L^1(W)})<+\mathrm{\infty },$

が成り立つ。ここで微分は緩増加超函数の意味で取られる；

• (f_n) はある点において一様有界である。すなわち、ある t ∈ U に対して { f_n(t) | n ∈ N } ⊆ R は有界である。

このとき、f_n のあるテンプレート:仮リンク f_nk, k ∈ N と、局所的に有界変動であるような函数 f : U → R が存在して、次が成立する。

• f_nk は f に各点収束する；
• f_nk は L¹ において局所的に f に収束する（局所可積分函数を参照）。すなわち、U 内のすべてのコンパクトな埋め込み W に対して次が成り立つ。

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{W}{\int }|f_{n_k}(x)-f(x)|\mathrm{d}x=0;$

• また U 内のコンパクトな埋め込み W に対して、次が成り立つ。

${\Vert \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}\Vert }_{L^1(W)}\le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{\Vert \frac{\mathrm{d}{f}_{n_k}}{\mathrm{d}t}\Vert }_{L^1(W)}.$

一般化

ヘリーの選択定理には多くの一般化と拡張が存在する。バナッハ空間に値を取る BV 函数に対する次の定理は、Barbu and Precupanu によるものである。

X を回帰的かつ可分なヒルベルト空間とし、E を X の閉凸集合とする。Δ : X → [0, +∞) を正定かつ次数1の斉次函数とする。すべての n ∈ N と t ∈ [0, T] に対して z_n は BV([0, T]; X) 内の一様有界列で、z_n(t) ∈ E とする。このとき、ある部分列 z_nk と函数 δ, z ∈ BV([0, T]; X) が存在して、次が成り立つ。

• すべての t ∈ [0, T] に対して

$\underset{[0,t)}{\int }\mathrm{\Delta }(\mathrm{d}{z}_{n_k})\to \delta (t);$

• すべての t ∈ [0, T] に対して

$z_{n_k}(t)\rightharpoonup z(t)\in E;$

• すべての 0 ≤ s < t ≤ T に対して

$\underset{[s,t)}{\int }\mathrm{\Delta }(\mathrm{d}z)\le \delta (t)-\delta (s).$

関連項目

• 有界変動函数
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク

参考文献

• テンプレート:Cite book テンプレート:MathSciNet