区間の分割
数学において実数直線上の区間 テンプレート:Math の分割（ぶんかつ、テンプレート:Lang-en-short）とは、実数からなる
の形の有限点列 テンプレート:Math を言う。即ち、有界閉区間 テンプレート:Mvar の分割は、（区間 テンプレート:Mvar に属する実数からなる）狭義単調増加列であって、テンプレート:Mvar の小さいほうの端点から大きいほうの端点へ到達する。
このとき、各点 テンプレート:Mvar を区間 テンプレート:Math の分割 テンプレート:Math に属する分点と言い、テンプレート:Math の形の各区間を分割 テンプレート:Math に属する小区間 (sub-interval) などと呼ぶ。
区間の分割 テンプレート:Math に対し、例えば
は明らかに区間 テンプレート:Math の集合としての分割を与える。
分割の細分
与えられた区間の分割 テンプレート:Mvar に対して、同じ区間の別の分割 テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の細分 (refinement) であるとは（他に点が加わっていてもよいから）テンプレート:Mvar の分点をすべて含むときに言う。このとき分割 テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar より細かい (finer) と言う。また、細かい分割のほうが大きいと定義することにより、与えられた区間上の分割全体の成す集合上に半順序を入れることができる。すなわち、分割 テンプレート:Mvar に対し、その分点からなる集合をそれぞれ テンプレート:Mvar とすれば、
である。二つの分割 テンプレート:Mvar に対して、その共通細分 (common refinement) テンプレート:Math を、テンプレート:Mvar の全ての分点をその大きさの順で並べ直して得られる点列として与えることができる[1]。
分割の大きさ
分割
の大きさ (norm) あるいは目 (mesh) とは、それに属する最長の小区間の長さ
応用
区間の分割はリーマン積分、リーマン–スティルチェス積分、方正積分などの理論に利用される。具体的には、与えられた区間に対して（より小さな分割に取り直すという意味において）分割の大きさを テンプレート:Math に近づけるにつれ、その区間上で定義されたリーマン和がリーマン積分に近づく[4]。
点付き分割
与えられた区間の点付き分割 (tagged partition[5]) とは、その区間の分割 テンプレート:Math と各 テンプレート:Mvar テンプレート:Math について
なる条件を満足する有限点列 テンプレート:Math との組を言う。即ち、点付き分割は、各小区間の識別点 (distinguished point, tag) が指定されているような分割である。点付き分割の大きさ（目）は通常の分割に対するものと同じに定義される。通常の分割の場合と同様に、点付き分割の細分を考えることにより与えられた区間上の点付き分割全体の成す集合上に半順序を入れることができる。
ここで、区間 テンプレート:Math の点付き分割 テンプレート:Math および テンプレート:Math に対し、テンプレート:Math が点付き分割 テンプレート:Math の細分であるとは、各 テンプレート:Mvar に対して整数 テンプレート:Math が存在して、テンプレート:Math かつ テンプレート:Math なる適当な整数 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math となるときに言う。一口に言えば、点付き分割の細分は、もとの分割に分点と識別点を追加して（点を取り去ることはせずに）得られる点付き分割である。