Ba空間

テンプレート:No footnotes テンプレート:Lowercase 数学において、集合代数 テンプレート:Math に対する ba-空間（baくうかん、テンプレート:Lang-en-short）テンプレート:Math とは、テンプレート:Math 上のすべての有界かつ有限加法的な符号付測度からなるバナッハ空間である。ノルムは次のようにテンプレート:仮リンク テンプレート:Math で与えられるテンプレート:Harv。

テンプレート:Math が[[完全加法族| テンプレート:Math-代数]]となるとき、テンプレート:Math の部分集合として可算加法的測度からなる空間 テンプレート:Math が定義される テンプレート:Harv。ここで記号 ba は「有界加法的（bounded additive）」にちなみ、ca は「可算加法的（countably additive）」にちなむ。

テンプレート:Mvar が位相空間で、テンプレート:Math が テンプレート:Mvar におけるボレル集合全体の成す テンプレート:Math-代数であるとき、テンプレート:Math の部分空間として、テンプレート:Mvar 上のすべての正則ボレル測度からなる空間 テンプレート:Math を考えることができる テンプレート:Harv。

性質

上述の三つの空間はすべて、全変動として定義される同一のノルムに関して完備（すなわちバナッハ空間）であり、したがって テンプレート:Math は テンプレート:Math の閉部分集合であり、また テンプレート:Mvar 上のボレル集合代数 テンプレート:Math に対して テンプレート:Math は テンプレート:Math の閉部分集合となる。テンプレート:Math 上の単函数の空間は テンプレート:Math において稠密である。

自然数の冪集合に対する ba-空間 テンプレート:Math は、しばしば単に テンプレート:Math と表記される。これは ℓ^∞ 空間の双対空間と位相同型である。

テンプレート:Math の双対空間

有界な テンプレート:Math-可測函数全体の成す集合に一様ノルムを入れた空間 テンプレート:Math に対し、テンプレート:Math は テンプレート:Math の連続双対となる。この事実は テンプレート:Harvtxt および テンプレート:Harvtxt により発見された。これは、測度が可測函数を変数に取る線型汎函数として表現できることを言うリースの表現定理の一種である。特に、この同型写像により有限加法的測度に関する積分を定義することが可能となる（通常のルベーグ積分では「可算」加法性が要求されることに注意されたい）。これは テンプレート:Harvtxt による結果で、ベクトル測度に関する積分 テンプレート:Harv、特にベクトル値ラドン測度に関する積分を定義するためにしばしば用いられる。

テンプレート:Math が位相的な双対であることを確かめるのは容易である。明らかに、テンプレート:Math 上の有限加法的測度 テンプレート:Math 全体の成すベクトル空間と単函数全体の成すベクトル空間とは（テンプレート:Math を考えることにより）「代数的」に双対である。テンプレート:Math の誘導する線型形式が上限ノルムに関して連続となるための必要十分条件が テンプレート:Math が有界となることであるのを示すのは難しくない。単函数全体の成す稠密部分空間上の線型形式が テンプレート:Math の元に延長されるための必要十分条件は、それが上限ノルムについて連続であることなので、所期の結果が従う。

テンプレート:Math の双対空間

テンプレート:Math が[[完全加法族| テンプレート:Math-代数]]を成し、かつ テンプレート:Mvar が テンプレート:Math 上の テンプレート:Mvar-加法的正測度であるとき、[[Lp空間| テンプレート:Math]] に本質的上限ノルムを入れたものは、定義により、テンプレート:Math を有界 テンプレート:Mvar-零函数全体の成す閉部分空間

$N_{\mu }:=\{f\in B(\mathrm{\Sigma }):f=0,\mu \text{-almost everywhere}\}$

で割って得られる商空間となる。したがって双対バナッハ空間 テンプレート:Math は

$N_{\mu }^{\perp }=\{\sigma \in ba(\mathrm{\Sigma }):\mu (A)=0⟹\sigma (A)=0\text{ for any }A\in \mathrm{\Sigma }\}$

に同型である。これはすなわち、テンプレート:Mvar に関して絶対連続（以下、簡略化のため テンプレート:Mvar-a.c. と書く）な テンプレート:Math 上の有限加法的符号付測度の空間である。

測度空間がさらに テンプレート:Mvar-有限ならば、テンプレート:Math は テンプレート:Math の双対となる。後者の空間は、ラドン–ニコディムの定理より、すべての可算加法的 テンプレート:Mvar-a.c. 測度の集合となる。言い換えると、二重双対に関する次の包含

$L^1(\mu )\subset L^1(\mu {)}^{**}=L^{\mathrm{\infty }}(\mu {)}^{*}$

は、すべての有限加法的 μ-a.c. 有界測度の空間の内側に可算加法的 μ-a.c. 有界測度の空間が含まれるという包含と同型である。

参考文献

• テンプレート:Citation.
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