正則測度

テンプレート:More footnotes 数学の分野における、ある位相空間上の正則測度（せいそくそくど、テンプレート:Lang-en-short）とは、その空間内のすべての可測集合について「近似的に開」（approximately open）かつ「近似的に閉」（approximately closed）であるような測度のことを言う。

定義

(X, T) を位相空間とし、Σ を、位相 T を含む X 上のσ-代数とする（したがって、すべての開集合と閉集合は可測集合であり、Σ は少なくとも X 上のボレルσ-代数と同じくらい良質なものである）。μ を (X, Σ) 上の測度とする。X の可測部分集合 A が μ-正則であるとは、

μ (A) = \sup {μ (F) | F \subseteq A, F closed}

および

μ (A) = \inf {μ (G) | G \supseteq A, G open}

が成り立つことを言う。あるいは、A が μ-正則集合であるための必要十分条件は、すべての δ > 0 に対して、

F \subseteq A \subseteq G

および

μ (G ∖ F) < δ

を満たすような閉集合 F と開集合 G が存在することを言う。

これら二つの定義は、 $μ (A)$ が有限である場合には同値となる^[1]（そうでない場合には、二つ目の定義の方が強くなる）。すべての可測集合が正則であるとき、μ は正則測度と呼ばれる。

人によっては、集合 F が（閉であるだけでなく）コンパクトであることも必要とする^[2]。

実数直線上のルベーグ測度は正則測度である：ルベーグ測度の正則性定理を見られたい。
任意の距離空間上の任意のボレル確率測度は、正則測度である。
（すべての可測部分集合に対してゼロの値を取るような）自明測度は、正則測度である。
通常位相を備える実数直線上の、正則測度でない測度 μ の自明な例には、以下のようなものがある。
- $μ (\emptyset) = 0$ ,
- $μ ({1}) = 0$ , and
- $μ (A) = \infty$ for any other set $A$ .