バナッハ関数空間のソースを表示

可測関数のクラス、例えば（重み付き）ルベーグ空間<math>L^{p}</math>、オルリッチ空間<math>L^{\Phi}</math>、ローレンツ空間<math>L^{p,q}</math>は、関数解析の多くの分野で中心的な役割を果たし、これらの概念は'''バナッハ関数空間'''（バナッハかんすうくうかん、Banach function space、BFS）という抽象的なクラスの特殊なケースである。この空間は、関数の同士の順序をノルムで順応させるという特徴を有する。

== 定義 ==
(<math>\infty</math>の値を許す)ノルム空間<math>(X, \|\cdot \|_{X})</math>に対し、写像<math>\|\cdot \|_{X}</math>が測度空間<math>(\Omega, \Sigma,\mu)</math>上の関数ノルムであるとは、次の条件を全て満たすことである。
# <math>X \subset L^{0}(\Omega, \Sigma, \mu)</math>
# Ideal property：全ての<math>f \in L^{0}(\Omega, \Sigma, \mu) , g\in X</math>に対し、<math> 0\leqslant f \leqslant g </math> a.e.ならば<math>f \in X, \| f\|_{X} \leqslant \|g \|_{X}</math>
# Fatou property：全ての<math>f \in L^{0}(\Omega, \Sigma, \mu) ,  f_{1},f_{2},\cdots \in X</math>に対し、<math>\sup_{n \in \mathbb{N}}\|f_{n}\|_{X} < \infty , 0\leqslant f_{n} \uparrow f </math> a.e.ならば<math>f \in X, \|f\|_{X}= \sup_{n \in \mathbb{N}}\| f_{n}\|_{X}  </math>
# 全ての<math>E \in \Sigma</math>に対し、<math>\mu(E) < \infty</math>ならば<math>1_{E} \in X</math>
# 全ての<math>f \in X, E \in \Sigma</math>に対し、ある実数<math>C_{E}</math>が存在し、<math>\mu(E) < \infty</math>ならば<math>\int_{E}fd\mu \leqslant C_{E}\| f \|_{X}</math>
ただし、<math>L^{0}(\Omega, \Sigma, \mu)</math>は<math>(\Omega, \Sigma)</math>-可測関数の全体の集合、<math>1_{E}</math>は集合<math>E</math>の指示関数を表すとする。
全ての<math>f \in X</math>に対して<math>\|f\|_{X}< \infty</math>であるとき、<math>(X, \|\cdot \|_{X})</math>は測度空間<math>(\Omega, \Sigma,\mu)</math>上のバナッハ関数空間と呼ばれる。

さらに、<math>g \in L(\Omega, \Sigma,\mu)</math>に対し、<math>\|g \|_{X'} = \sup_{f \in X ,\|f\|_{X}\leqslant 1} \int_{\Omega}fg d\mu</math>で定めたとき、写像<math>\|\cdot \|_{X'}</math>を<math>\|\cdot \|_{X}</math>のassociateノルムという。<math>(X', \|\cdot \|_{X'})</math>自身がバナッハ関数空間となるとき、associate空間と呼ぶことにする。

== 性質 ==
測度空間<math>(\Omega, \Sigma,\mu)</math>上の関数ノルム<math>\|\cdot \|_{X}</math>に対して、次のような性質が言える。
* <math>\mu</math>-単関数は<math>X </math>に属する。
* Fatouの補題が成り立つ。
* associateノルム<math>\|\cdot \|_{X'}</math>は関数ノルムである。
* Hölderの不等式が成り立つ。<math>\int_{\Omega}|fg|d\mu \leqslant \|f\|_{X}\|g\|_{X'}</math>
測度空間<math>(\Omega, \Sigma,\mu)</math>上のバナッハ関数空間<math>(X, \|\cdot \|_{X})</math>に対して、次のような性質が言える。
* 全ての<math>f_{1},f_{2},\cdots \in X</math>に対し、<math>\sum_{n \in \mathbb{N}}\|f_{n}\|_{X} < \infty </math>ならばある<math>f \in X</math>が存在し<math>\lim_{n\to \infty}\left\|\sum_{j=1}^{n} f_{n} - f \right\|_{X} = 0, \|f\|_{X} \leqslant \sum_{n \in \mathbb{N}}\|f_{n}\|_{X}</math>。従って、<math>(X, \|\cdot \|_{X})</math>は完備である。
* ノルム収束するならば、ほとんど至る所で各店収束する。
* ルベーグ測度において、<math> g\in X' \Leftrightarrow \int_{\mathbb{R}}|fg|d\mu < \infty (f \in X)</math>
* ルベーグ測度において、二重associate空間<math>(X'', \|\cdot \|_{X''})</math>は<math>(X, \|\cdot \|_{X})</math>に等しく、互いの関数ノルムの値も一致する。

== 参考文献 ==
* Colin Bennett and Robert C. Sharpley, Interpolation of Operators, Pure and Applied Mathematics Book 129, 1988.

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