バナッハ関数空間

可測関数のクラス、例えば（重み付き）ルベーグ空間$L^p$、オルリッチ空間$L^{\mathrm{\Phi }}$、ローレンツ空間$L^{p,q}$は、関数解析の多くの分野で中心的な役割を果たし、これらの概念はバナッハ関数空間（バナッハかんすうくうかん、Banach function space、BFS）という抽象的なクラスの特殊なケースである。この空間は、関数の同士の順序をノルムで順応させるという特徴を有する。

定義

($\mathrm{\infty }$の値を許す)ノルム空間$(X,\Vert \cdot {\Vert }_X)$に対し、写像$\Vert \cdot {\Vert }_X$が測度空間$(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },\mu )$上の関数ノルムであるとは、次の条件を全て満たすことである。

1. $X\subset L^0(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },\mu )$
2. Ideal property：全ての$f\in L^0(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },\mu ),g\in X$に対し、$0⩽f⩽g$ a.e.ならば$f\in X,\Vert f{\Vert }_X⩽\Vert g{\Vert }_X$
3. Fatou property：全ての$f\in L^0(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },\mu ),f_1,f_2,\cdots \in X$に対し、$\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }\Vert f_n{\Vert }_X<\mathrm{\infty },0⩽f_n\uparrow f$ a.e.ならば$f\in X,\Vert f{\Vert }_X=\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }\Vert f_n{\Vert }_X$
4. 全ての$E\in \mathrm{\Sigma }$に対し、$\mu (E)<\mathrm{\infty }$ならば$1_E\in X$
5. 全ての$f\in X,E\in \mathrm{\Sigma }$に対し、ある実数$C_E$が存在し、$\mu (E)<\mathrm{\infty }$ならば$\underset{E}{\int }fd\mu ⩽C_E\Vert f{\Vert }_X$

ただし、$L^0(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },\mu )$は$(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma })$-可測関数の全体の集合、$1_E$は集合$E$の指示関数を表すとする。 全ての$f\in X$に対して$\Vert f{\Vert }_X<\mathrm{\infty }$であるとき、$(X,\Vert \cdot {\Vert }_X)$は測度空間$(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },\mu )$上のバナッハ関数空間と呼ばれる。

さらに、$g\in L(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },\mu )$に対し、$\Vert g{\Vert }_{X^{\prime }}=\underset{f\in X,\Vert f{\Vert }_X⩽1}{\sup }\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }fgd\mu$で定めたとき、写像$\Vert \cdot {\Vert }_{X^{\prime }}$を$\Vert \cdot {\Vert }_X$のassociateノルムという。$(X^{\prime },\Vert \cdot {\Vert }_{X^{\prime }})$自身がバナッハ関数空間となるとき、associate空間と呼ぶことにする。

性質

測度空間$(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },\mu )$上の関数ノルム$\Vert \cdot {\Vert }_X$に対して、次のような性質が言える。

• $\mu$-単関数は$X$に属する。
• Fatouの補題が成り立つ。
• associateノルム$\Vert \cdot {\Vert }_{X^{\prime }}$は関数ノルムである。
• Hölderの不等式が成り立つ。$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|fg|d\mu ⩽\Vert f{\Vert }_X\Vert g{\Vert }_{X^{\prime }}$

測度空間$(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },\mu )$上のバナッハ関数空間$(X,\Vert \cdot {\Vert }_X)$に対して、次のような性質が言える。

• 全ての$f_1,f_2,\cdots \in X$に対し、$\sum _{n\in \mathbb{N}}\Vert f_n{\Vert }_X<\mathrm{\infty }$ならばある$f\in X$が存在し$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\Vert \sum _{j=1}^n{f}_n-f\Vert }_X=0,\Vert f{\Vert }_X⩽\sum _{n\in \mathbb{N}}\Vert f_n{\Vert }_X$。従って、$(X,\Vert \cdot {\Vert }_X)$は完備である。
• ノルム収束するならば、ほとんど至る所で各店収束する。
• ルベーグ測度において、$g\in X^{\prime }\iff \underset{ℝ}{\int }|fg|d\mu <\mathrm{\infty }(f\in X)$
• ルベーグ測度において、二重associate空間$(X^{″},\Vert \cdot {\Vert }_{X^{″}})$は$(X,\Vert \cdot {\Vert }_X)$に等しく、互いの関数ノルムの値も一致する。

参考文献

• Colin Bennett and Robert C. Sharpley, Interpolation of Operators, Pure and Applied Mathematics Book 129, 1988.