バローの不等式のソースを表示

[[ファイル:Barrow_inequality.svg|右|サムネイル|300x300ピクセル]]
'''バローの不等式'''（-ふとうしき、{{Lang-en-short|Barrow's inequality}}）は、[[幾何学]]において[[三角形]]の[[頂点]]との[[距離]]と、[[角の二等分線]]の長さに関する[[不等式]]である。 {{仮リンク|デヴィッド・フランシス・バロー|en|David Francis Barrow}}に因んで名付けられた。

== 主張 ==
{{Math|△''ABC''}}の内部の任意の点{{Mvar|P}}について、それぞれ{{Math|∠''BPC'',∠''CPA'',∠''APB''}}の[[二等分線]]と{{Mvar|BC,CA,AB}}の交点を{{Mvar|U,V,W}}とする。バローの不等式は次の式である<ref name="emb">{{Citation|title=Solution to problem 3740|last=Erdős|first=Paul|author-link=Paul Erdős|last2=Mordell|first2=L. J.|author2-link=Louis J. Mordell|last3=Barrow|first3=David F.|author3-link=David Francis Barrow|year=1937|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=44|issue=4|pages=252–254|doi=10.2307/2300713|jstor=2300713}}.</ref>。

: <math>PA+PB+PC\geq 2(PU+PV+PW),\,</math>

等号成立条件は{{Math|△''ABC''}}が[[正三角形]]で{{Mvar|P}}がその中心であること<ref name="emb" />。

== 一般化 ==
バローの不等式は任意の[[凸多角形]]に一般化できる。[[n角形]]<math>A_1,A_2,\ldots ,A_n </math>の内部の点<math>P</math>について<math>\angle A_1PA_2,\ldots,\angle A_{n-1}PA_n,\angle A_nPA_1 </math>の二等分線と[[辺]]<math>A_1A_2,\ldots ,A_{n-1}A_n, A_nA_1</math>の交点をそれぞれ<math>Q_1, Q_2,\ldots ,Q_n</math>とする。このとき次の不等式が成り立つ<ref>M. Dinca: [https://ssmr.ro/gazeta/gmb/2009/4/articol.pdf "A Simple Proof of the Erdös-Mordell Inequality"]. In: ''Articole si Note Matematice'', 2009</ref><ref>Hans-Christof Lenhard: "Verallgemeinerung und Verschärfung der Erdös-Mordellschen Ungleichung für Polygone". In: ''Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung'', Band 12, S. 311–314, [[doi:10.1007/BF01650566]] (German).</ref>。

: <math>\sum_{k=1}^n|PA_k|\geq \sec\left(\frac{\pi}{n}\right) \sum_{k=1}^n|PQ_k|</math>

<math>\sec(x)</math> は[[正割関数]]である。<math>n=3</math>のとき<math>\sec\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=2</math>となって、バローの不等式を得る。

== 歴史 ==
[[ファイル:Ungleichung_barrow2.svg|サムネイル|バローの不等式と[[エルデシュ・モーデルの不等式]]<br /><br /><math>\begin{align}&\quad\, |PA|+|PB|+|PC| \\ &\ge 2 (|PQ_a|+|PQ_b|+|PQ_c|)\\  &\ge 2 (|PF_a|+|PF_b|+|PF_c|)\end{align}</math>]]
バローの不等式は[[エルデシュ・モーデルの不等式]]より強力な不等式である。バローの不等式は1937年、{{仮リンク|デヴィッド・フランシス・バロー|en|David Francis Barrow}}が {{仮リンク|The American Mathematical Monthly|en|The American Mathematical Monthly}}に投稿した[[エルデシュ・モーデルの不等式]]の証明を初出とする<ref name="emb" />。1961年より以前に  "Barrow's inequality"の名が使われ始めている<ref>{{Citation|title=New inequalities for a triangle and an internal point|last=Oppenheim|first=A.|author-link=Alexander Oppenheim|year=1961|journal=[[Annali di Matematica Pura ed Applicata]]|volume=53|pages=157–163|doi=10.1007/BF02417793|mr=124774}}</ref>。

より単純な証明は[[ルイス・モーデル]]により発見された<ref>{{Citation|title=On geometric problems of Erdös and Oppenheim|last=Mordell|first=L. J.|author-link=Louis J. Mordell|year=1962|journal=[[The Mathematical Gazette]]|volume=46|issue=357|pages=213–215|jstor=3614019}}.</ref>。

== 関連 ==

* [[オイラーの定理 (平面幾何学)|オイラーの定理]]
* [[三角形に関する不等式の一覧]]

== 出典 ==
<references responsive="1"></references>
{{Reflist}}

== 外部リンク ==

* [https://web.archive.org/web/20101226171804/http://www.eleves.ens.fr/home/kortchem/olympiades/Cours/Inegalites/tin2006.pdf Hojoo Lee: Topics in Inequalities - Theorems and Techniques]
* {{Cite web |url=https://manabitimes.jp/math/625 |title=エルデス・モーデルの定理の証明 |access-date=2024-7-25 |publisher=[[高校数学の美しい物語]]}}
{{デフォルトソート:はろうのふとうしき}}
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[[Category:不等式]]
[[Category:三角形]]