バローの不等式

バローの不等式（-ふとうしき、テンプレート:Lang-en-short）は、幾何学において三角形の頂点との距離と、角の二等分線の長さに関する不等式である。 テンプレート:仮リンクに因んで名付けられた。

主張

テンプレート:Mathの内部の任意の点テンプレート:Mvarについて、それぞれテンプレート:Mathの二等分線とテンプレート:Mvarの交点をテンプレート:Mvarとする。バローの不等式は次の式である。

$PA+PB+PC\ge 2(PU+PV+PW),$

等号成立条件はテンプレート:Mathが正三角形でテンプレート:Mvarがその中心であること。

一般化

バローの不等式は任意の凸多角形に一般化できる。n角形$A_1,A_2,\dots ,A_n$の内部の点$P$について$\mathrm{\angle }{A}_{1}P{A}_2,\dots ,\mathrm{\angle }{A}_{n-1}P{A}_n,\mathrm{\angle }{A}_{n}P{A}_1$の二等分線と辺$A_1{A}_2,\dots ,A_{n-1}{A}_n,A_n{A}_1$の交点をそれぞれ$Q_1,Q_2,\dots ,Q_n$とする。このとき次の不等式が成り立つ。

$\sum _{k=1}^n|P{A}_k|\ge \sec \left(\frac{\pi }{n}\right)\sum _{k=1}^n|P{Q}_k|$

$\sec (x)$ は正割関数である。$n=3$のとき$\sec \left(\frac{\pi }{3}\right)=2$となって、バローの不等式を得る。

歴史

バローの不等式とエルデシュ・モーデルの不等式

$\begin{array}{cc}& |PA|+|PB|+|PC|\\ & \ge 2(|P{Q}_a|+|P{Q}_b|+|P{Q}_c|)\\ & \ge 2(|P{F}_a|+|P{F}_b|+|P{F}_c|)\end{array}$

バローの不等式はエルデシュ・モーデルの不等式より強力な不等式である。バローの不等式は1937年、テンプレート:仮リンクが テンプレート:仮リンクに投稿したエルデシュ・モーデルの不等式の証明を初出とする。1961年より以前に "Barrow's inequality"の名が使われ始めている。

より単純な証明はルイス・モーデルにより発見された。

関連

• オイラーの定理
• 三角形に関する不等式の一覧

外部リンク

• Hojoo Lee: Topics in Inequalities - Theorems and Techniques
• テンプレート:Cite web