エルデシュ・モーデルの不等式

ユークリッド幾何学においてエルデシュ・モーデルの不等式（えるでしゅ・もーでるのふとうしき、テンプレート:Lang-en-short）は、三角形テンプレート:Mvarとその内部の点テンプレート:Mvarについて、三角形の各頂点とテンプレート:Mvarの距離の和は、三角形の各辺とテンプレート:Mvarの距離の和の2倍以上であるという定理である。 ポール・エルデシュとルイス・モーデルに因み名付けられた。エルデシュ（テンプレート:Harvtxt ）はこの不等式の証明の問題を発表し、その2年後に、モーデルとバロー（テンプレート:Harvs）によって証明がなされた。 この不等式は実に初等的であるが、 彼らによる証明は全く初等的でない。その後 テンプレート:Harvtxt, テンプレート:Harvtxt, テンプレート:Harvtxtらによって単純な証明が与えられた。

バローの不等式はエルデシュ・モーデルの不等式のより強力な不等式である。エルデシュ・モーデルの不等式は点と辺との距離、つまり垂線の長さに関する不等式だが、バローの不等式は角の二等分線の長さに関する不等式となっている。

主張

エルデシュ・モーデルの不等式

証明

テンプレート:Mvarの対辺とその長さをテンプレート:Mvarと表現する。またテンプレート:Mvarの長さをそれぞれテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvar間,テンプレート:Mvar間,テンプレート:Mvar間の距離をそれぞれテンプレート:Mvarとする。このとき

$cr\ge ax+by.$

を証明する。この不等式は

$\frac{c(r+z)}{2}\ge \frac{ax+by+cz}{2}.$

と等しい。このとき、右辺は三角形の面積を表すが、左辺のテンプレート:Mathは底辺をテンプレート:Mvarとしてみたときの三角形の高さよりも大きい。したがってこの不等式は成立する。テンプレート:Mvarをテンプレート:Mvarの角の二等分線で鏡映した点にこの不等式を用いればテンプレート:Mathを得る。同様にテンプレート:Mathを得る。これらの不等式を変形する。

$r\ge (a/c)y+(b/c)x,$

$q\ge (a/b)z+(c/b)x,$

$p\ge (b/a)z+(c/a)y.$

この3つの不等式を加えて

$p+q+r\ge (\frac{b}{c}+\frac{c}{b})x+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})y+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})z.$

ここで相加相乗平均の関係式よりエルデシュ・モーデルの不等式を得る。等号成立条件は、元の三角形が正三角形でテンプレート:Mvarが三角形の重心であることである。

他のより強い不等式

外接円をテンプレート:Mvarとするテンプレート:Mathと、テンプレート:Mathの内部の点テンプレート:Mvarについて、テンプレート:Mvarを辺テンプレート:Mvarに対するテンプレート:Mvarの垂足、テンプレート:Mvarをテンプレート:Mvarにおけるテンプレート:Mvarの接線に対するテンプレート:Mvarの垂足とする。このとき

$PM+PN+PQ\ge 2(PD+PE+PF)$

が成り立つ。等号成立条件は元の三角形が正三角形であること（テンプレート:Harvnb; テンプレート:Harvnb）。

一般化

$A_1{A}_2...A_n$を凸なn角形、 $P$をその内部の点とする。また$R_i$ を$P$と$A_i$の距離、$r_i$を$P$と$A_i{A}_{i+1}$の距離、$w_i$を$\mathrm{\angle }{A}_{i}P{A}_{i+1}$の二等分線と$A_i{A}_{i+1}$の交点と$P$の距離とする。このとき次の不等式が成り立つ テンプレート:Harv。

$\sum _{i=1}^n{R}_i\ge (\sec \frac{\pi }{n})\sum _{i=1}^n{w}_i\ge (\sec \frac{\pi }{n})\sum _{i=1}^n{r}_i$

絶対幾何学

テンプレート:仮リンク においてもエルデシュ・モーデルの不等式が成り立つことが知られている（ テンプレート:Harvtxt）。ただし絶対幾何学での三角形の内角の和は180°以下であることを考慮する必要がある。

関連項目

• 三角形に関する不等式の一覧
• ヴィヴィアーニの定理
• 三角不等式
• オノの不等式
• カルノーの定理 (垂線)
• 垂足三角形
• 外接三角形

参考文献

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• テンプレート:Citation. (See D. K. Kazarinoff's inequality for tetrahedra.)
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外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• Alexander Bogomolny, "Erdös-Mordell Inequality", from Cut-the-Knot.