バードの配列表記のソースを表示

{{出典の明記| date = 2022年3月}}

'''バードの配列表記'''（バードのはいれつひょうき）とは、クリス・バード（英:Chris Bird）によって考案された[[巨大数]]の表記法である。これは[[BEAF]]の拡張配列表記の拡張で、歴史的にも定義的にもBEAFと同族である。<ref>{{Cite web |title=Chris Bird's Super Huge Numbers at MROB |url=http://www.mrob.com/users/chrisb/index.html |website=www.mrob.com |accessdate=2022-03-12}}</ref>

== 線形配列 ==
線形配列では、バードの配列表記はBEAFと同じである。

'''Rule 1-1.'''<math>\{a\}=a</math>

'''Rule 1-2.'''<math>\{a,b\}=a^b</math>

'''Rule 2.'''<math>\{\#,1\}=\{\#\}</math>

'''Rule 3.'''<math>\{a,1\#\}=a</math>

'''Rule 4.'''<math>\{a,b,\underbrace{1,\cdots,1}_{d},c,\#\}=\{\underbrace{a,\cdots,a}_{d+1} ,\{a,b-1,\underbrace{1,\cdots,1}_{d},c,\#\},c-1,\#\}</math>

'''Rule 5.'''<math>\{a,b,c\#\}=\{a,\{a,b-1,c,\#\},c-1\#\}</math>

ただし<math>\#</math>は配列の変わらない部分を指す。

線形配列では、急増加関数で<math>\{\underbrace{a,\cdots,a}_{a}\}\approx f_{\omega^\omega}(a)</math>と近似される。<ref name=":0">{{Cite web|和書|title=バードの配列表記 |url=https://googology.fandom.com/ja/wiki/%E3%83%90%E3%83%BC%E3%83%89%E3%81%AE%E9%85%8D%E5%88%97%E8%A1%A8%E8%A8%98 |website=巨大数研究 Wiki |accessdate=2022-03-12 |language=ja}}</ref>

== 多次元配列 ==
多次元配列では、配列の一部を<math>\acute{}a<c>b\textrm{'}</math>と表記する。線形配列と同様、BEAFと同じである。

'''Rule A1.'''<math>\acute{}a<0>b\textrm{'}=\acute{}a\textrm{'}</math>

'''Rule A2.'''<math>\acute{}a<c>1\textrm{'}=\acute{}a\textrm{'}</math>

'''Rule A3.'''<math>\acute{}a<c>b\textrm{'}=\acute{}a<c-1>b[c]a<c>(b-1)\textrm{'}</math>

'''Rule M1.'''<math>\{a,b\}=a^b</math>

'''Rule M2.'''<math>\{\#[m]1[n]\#\}=\{\#[n]\#\}(m<n)</math>（これは上記の'''Rule 2'''も含む）

'''Rule M3.'''<math>\{a,1\#\}=a</math>

'''Rule M4.'''<math>\{a,b [m_1] 1 [m_2] \cdots 1 [m_x] c \#\} = \{a \langle m_1 \rangle b [m_1] a \langle m_2 \rangle b [m_2] \cdots a \langle m_x \rangle b [m_x] (c-1) \#\}</math>

'''Rule M5.'''<math>\{a,b [m_1] 1 [m_2] \cdots 1 [m_x] 1,1,\cdots,1,1,c \#\} = \{a \langle m_1 \rangle b [m_1] a \langle m_2 \rangle b [m_2] \cdots a \langle m_x \rangle b [m_x] a,a,\cdots,1,1,c-1 \#\}</math>

'''Rule M6.'''<math>\{a,b,\underbrace{1,\cdots,1}_{d},c,\#\}=\{\underbrace{a,\cdots,a}_{d+1} ,\{a,b-1,\underbrace{1,\cdots,1}_{d},c,\#\},c-1,\#\}</math>

'''Rule M7.'''<math>\{a,b,c\#\}=\{a,\{a,b-1,c,\#\},c-1\#\}</math>

この配列は<math>[m]</math>を次元セパレータとして用いている。

== 超次元配列 ==
超次元配列では、括弧が<math>[1,1]</math>のようになる。'''Rule M1~M7'''は、<math>[m_n]</math>を<math>[m_n \#]
</math>に置き換えること以外は同じで、'''Rule A3'''は'''Rule A5'''となり、新しい'''Rule A3'''と'''Rule A4'''が追加される。

'''Rule A3.'''<math>\grave{} a <\# [A] 1 [B] \#> b \textrm' = \grave{} <\# [B] \#> b \textrm'(A<B)</math>

'''Rule A4.'''<math>\grave{} a \langle 0 [A_1] 1 [A_2] \cdots 1 [A_n] c \# \rangle b \textrm' = \grave{} a \langle b \langle A_1-1 \rangle b [A_1] b \langle A_2-1 \rangle b [A_2] \cdots b \langle A_n-1 \rangle b [A_n] c-1 \# \rangle b \textrm'</math>

A<sub>n</sub>とBは配列で、A<sub>i</sub>-1 は A<sub>i</sub> の最初の引数から1を引いて、残りは等しい配列である。

=== 二つのセパレータの順序付け ===
'''Rule A3'''と'''Rule M2'''はよく似ているため、どのセパレーターがより高いランクなのか決定する必要がある。最初に、配列が何重にネストされたかを表す関数を<math>\mathrm{Lev}(A)</math>と表記する。例えば、<math>A=\{3,3[1[1[2]2]2]2\}</math>とすると、<math>\mathrm{Lev}(A)=3</math>となる。つまり<math>[2]</math>は<math>[1[2]2]</math>にネストされていて、それも<math>[1[1[2]2]2]</math>にネストされている。もう一つの関数、<math>\mathrm{Num}(H,A)</math>を、配列<math>A</math>中のセパレータ<math>[H]</math>の個数と定義する。例えば、<math>A=\{3,3[1[2]1[2]1[2]2]2]2\}</math> なら、 <math>\mathrm{Num}(2,A)=3</math>。

<math>[A]</math>と<math>[B]</math>のどちらが優位なのかを決定する方法は、次のように表現される。

* '''Step 1.''' <math>[A_1]=[A], [A_2]=[A_1], [B_1]=[B], [B_2]=[B_1]</math>とする。
* '''Step 2.'''もし<math>\mathrm {Lev} (A)>\mathrm {Lev} (B)</math>なら、<math>[A]>[B]</math>、 <math>\mathrm {Lev} (A)<\mathrm {Lev} (B)</math>なら、<math>[A]<[B]</math>とする。 もし<math>{\displaystyle \mathrm {Lev} (A)=\mathrm {Lev} (B)>0}</math>なら、'''Step 3'''へ、それ以外は'''Step 6'''へ。
* '''Step 3.'''<math>[A*]</math>と<math>[B*]</math>をそれぞれ配列<math>[A_2]</math>と<math>[B_2]</math>の最高位のセパレータとする。 もし<math>{\displaystyle [A*]>\displaystyle [B*]}</math>なら<math>{\displaystyle [A]>\displaystyle [B]}</math>、<math>{\displaystyle [A*]<\displaystyle [B*]}</math>なら<math>{\displaystyle [A]<\displaystyle [B]}</math>、それ以外は<math>[H]=[A*]=[B*]</math>とし'''Step 4'''へ。
* '''Step 4'''.もし<math>\mathrm{Num}(H,A_2)>\mathrm{Num} (H,B_2)</math>なら、<math>[A]>[B]</math>、<math>\mathrm{Num}(H,A_2)<\mathrm{Num} (H,B_2)</math>なら、<math>[A]<[B]</math>、それ以外は'''Step 5'''へ。
* '''Step 5.''' 文字列<math>A_2</math>と<math>B_2</math>から、<math>[H]</math>のセパレータとその前の引数を削除する。
* '''Step 6.'''これまでのルールで、<math>A_2</math>と<math>B_2</math>は<math>[a]</math>と<math>[b]</math>(<math>a</math>と<math>b</math>は単一の整数)の形になっているはずである。 もし<math>[a]<[b]</math>なら<math>[A]<[B]</math>、<math>[a]>[b]</math>なら<math>{\displaystyle [A]>\displaystyle [B]}</math>、 それ以外は'''Step 7'''へ。
* '''Step 7.'''<math>A_1</math>と<math>B_1</math>の最後の引数とその前のセパレータをすべて消去する。もし<math>A_1</math>と<math>B_1</math>がどちらも空ならば<math>[A]=[B]</math>、 それ以外は'''Step 2'''に戻る。<ref name=":0" />

== 超ネスト配列 ==

== ネストされた超ネスト配列 ==

== 出典 ==
<references />

== 関連項目 ==
*[[巨大数]]
*[[配列表記]]
*[[BEAF]]
*[[回転矢印表記]] - [[チェーン表記]]の拡張で、バードの配列表記以前にクリス・バードが考案したもの。
*[[バード数]] - バードの配列表記を元に定義された巨大数

{{DEFAULTSORT:はあとのはいれつひようき}}
[[Category:巨大数]]
[[Category:数学に関する記事]]