バードの配列表記

バードの配列表記（バードのはいれつひょうき）とは、クリス・バード（英:Chris Bird）によって考案された巨大数の表記法である。これはBEAFの拡張配列表記の拡張で、歴史的にも定義的にもBEAFと同族である。

線形配列

線形配列では、バードの配列表記はBEAFと同じである。

Rule 1-1.$\{a\}=a$

Rule 1-2.$\{a,b\}=a^b$

Rule 2.$\{\mathrm{\#},1\}=\{\mathrm{\#}\}$

Rule 3.$\{a,1\mathrm{\#}\}=a$

Rule 4.$\{a,b,\underset{d}{\underbrace{1,\cdots ,1}},c,\mathrm{\#}\}=\{\underset{d+1}{\underbrace{a,\cdots ,a}},\{a,b-1,\underset{d}{\underbrace{1,\cdots ,1}},c,\mathrm{\#}\},c-1,\mathrm{\#}\}$

Rule 5.$\{a,b,c\mathrm{\#}\}=\{a,\{a,b-1,c,\mathrm{\#}\},c-1\mathrm{\#}\}$

ただし$\mathrm{\#}$は配列の変わらない部分を指す。

線形配列では、急増加関数で$\{\underset{a}{\underbrace{a,\cdots ,a}}\}\approx f_{{\omega }^{\omega }}(a)$と近似される。

多次元配列

多次元配列では、配列の一部を$\stackrel{}{´}a<c>b\text{'}$と表記する。線形配列と同様、BEAFと同じである。

Rule A1.$\stackrel{}{´}a<0>b\text{'}=\stackrel{}{´}a\text{'}$

Rule A2.$\stackrel{}{´}a<c>1\text{'}=\stackrel{}{´}a\text{'}$

Rule A3.$\stackrel{}{´}a<c>b\text{'}=\stackrel{}{´}a<c-1>b[c]a<c>(b-1)\text{'}$

Rule M1.$\{a,b\}=a^b$

Rule M2.$\{\mathrm{\#}[m]1[n]\mathrm{\#}\}=\{\mathrm{\#}[n]\mathrm{\#}\}(m<n)$（これは上記のRule 2も含む）

Rule M3.$\{a,1\mathrm{\#}\}=a$

Rule M4.$\{a,b[m_1]1[m_2]\cdots 1[m_x]c\mathrm{\#}\}=\{a⟨m_1⟩b[m_1]a⟨m_2⟩b[m_2]\cdots a⟨m_x⟩b[m_x](c-1)\mathrm{\#}\}$

Rule M5.$\{a,b[m_1]1[m_2]\cdots 1[m_x]1,1,\cdots ,1,1,c\mathrm{\#}\}=\{a⟨m_1⟩b[m_1]a⟨m_2⟩b[m_2]\cdots a⟨m_x⟩b[m_x]a,a,\cdots ,1,1,c-1\mathrm{\#}\}$

Rule M6.$\{a,b,\underset{d}{\underbrace{1,\cdots ,1}},c,\mathrm{\#}\}=\{\underset{d+1}{\underbrace{a,\cdots ,a}},\{a,b-1,\underset{d}{\underbrace{1,\cdots ,1}},c,\mathrm{\#}\},c-1,\mathrm{\#}\}$

Rule M7.$\{a,b,c\mathrm{\#}\}=\{a,\{a,b-1,c,\mathrm{\#}\},c-1\mathrm{\#}\}$

この配列は$[m]$を次元セパレータとして用いている。

超次元配列

超次元配列では、括弧が$[1,1]$のようになる。Rule M1~M7は、$[m_n]$を$[m_n\mathrm{\#}]$に置き換えること以外は同じで、Rule A3はRule A5となり、新しいRule A3とRule A4が追加される。

Rule A3.$\stackrel{}{`}a<\mathrm{\#}[A]1[B]\mathrm{\#}>b\text{<mi fromhbox="1">'</mi>}=\stackrel{}{`}<\mathrm{\#}[B]\mathrm{\#}>b\text{<mi fromhbox="1">'</mi>}(A<B)$

Rule A4.$\stackrel{}{`}a⟨0[A_1]1[A_2]\cdots 1[A_n]c\mathrm{\#}⟩b\text{<mi fromhbox="1">'</mi>}=\stackrel{}{`}a⟨b⟨A_1-1⟩b[A_1]b⟨A_2-1⟩b[A_2]\cdots b⟨A_n-1⟩b[A_n]c-1\mathrm{\#}⟩b\text{<mi fromhbox="1">'</mi>}$

A_nとBは配列で、A_i-1 は A_i の最初の引数から1を引いて、残りは等しい配列である。

二つのセパレータの順序付け

Rule A3とRule M2はよく似ているため、どのセパレーターがより高いランクなのか決定する必要がある。最初に、配列が何重にネストされたかを表す関数を$\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{v}(A)$と表記する。例えば、$A=\{3,3[1[1[2]2]2]2\}$とすると、$\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{v}(A)=3$となる。つまり$[2]$は$[1[2]2]$にネストされていて、それも$[1[1[2]2]2]$にネストされている。もう一つの関数、$\mathrm{N}\mathrm{u}\mathrm{m}(H,A)$を、配列$A$中のセパレータ$[H]$の個数と定義する。例えば、$A=\{3,3[1[2]1[2]1[2]2]2]2\}$ なら、 $\mathrm{N}\mathrm{u}\mathrm{m}(2,A)=3$。

$[A]$と$[B]$のどちらが優位なのかを決定する方法は、次のように表現される。

• Step 1. $[A_1]=[A],[A_2]=[A_1],[B_1]=[B],[B_2]=[B_1]$とする。
• Step 2.もし$\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{v}(A)>\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{v}(B)$なら、$[A]>[B]$、 $\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{v}(A)<\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{v}(B)$なら、$[A]<[B]$とする。 もし$\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{v}(A)=\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{v}(B)>0$なら、Step 3へ、それ以外はStep 6へ。
• Step 3.$[A*]$と$[B*]$をそれぞれ配列$[A_2]$と$[B_2]$の最高位のセパレータとする。 もし$[A*]>[B*]$なら$[A]>[B]$、$[A*]<[B*]$なら$[A]<[B]$、それ以外は$[H]=[A*]=[B*]$としStep 4へ。
• Step 4.もし$\mathrm{N}\mathrm{u}\mathrm{m}(H,A_2)>\mathrm{N}\mathrm{u}\mathrm{m}(H,B_2)$なら、$[A]>[B]$、$\mathrm{N}\mathrm{u}\mathrm{m}(H,A_2)<\mathrm{N}\mathrm{u}\mathrm{m}(H,B_2)$なら、$[A]<[B]$、それ以外はStep 5へ。
• Step 5. 文字列$A_2$と$B_2$から、$[H]$のセパレータとその前の引数を削除する。
• Step 6.これまでのルールで、$A_2$と$B_2$は$[a]$と$[b]$($a$と$b$は単一の整数)の形になっているはずである。 もし$[a]<[b]$なら$[A]<[B]$、$[a]>[b]$なら$[A]>[B]$、 それ以外はStep 7へ。
• Step 7.$A_1$と$B_1$の最後の引数とその前のセパレータをすべて消去する。もし$A_1$と$B_1$がどちらも空ならば$[A]=[B]$、 それ以外はStep 2に戻る。

関連項目

• 巨大数
• 配列表記
• BEAF
• 回転矢印表記 - チェーン表記の拡張で、バードの配列表記以前にクリス・バードが考案したもの。
• バード数 - バードの配列表記を元に定義された巨大数