バーンスタイン多項式のソースを表示

{{簡易区別|[[佐藤幹夫 (数学者)|佐藤幹夫]]と[[ヨシフ・ベルンシュタイン]]による佐藤ベルンシュタイン多項式（{{mvar|b}} 関数）}}
{{読み仮名|'''バーンスタイン多項式'''|バーンスタインたこうしき|{{lang-en-short|Bernstein polynomial}}}}は[[バーンスタイン多項式#バーンスタイン基底関数|バーンスタイン基底関数]]の[[線形結合]]で与えられる[[多項式]]である。{{読み仮名|'''バーンスタイン形式の多項式'''|バーンスタインけいしきのたこうしき|{{lang-en-short|polynomial in Bernstein form}}}}<ref name=":0">"In computer aided geometric design, polynomials are usually expressed in Bernstein form. ... Let p(t) ... be a polynomial in the Bernstein form" p.744,746 より引用。{{Cite journal|last=Jiang|first=Hao|year=2010|title=Accurate evaluation of a polynomial and its derivative in Bernstein form|journal=Computers & Mathematics with Applications|volume=60|issue=3|pages=744–755|ref=harv|doi=10.1016/j.camwa.2010.05.021}}</ref>、'''ベルンシュタイン多項式'''とも。

== 概要 ==
バーンスタイン多項式は[[バーンスタイン多項式#バーンスタイン基底関数|バーンスタイン基底関数]]の[[線形結合]]で与えられる[[多項式]]である（⇒[[#定義]]）。{{Math|''n''}} 次のバーンスタイン多項式は任意の[[多項式#高々 n 次の多項式|高々 {{mvar|n}} 次の多項式]]を表現できるため<ref name=":1" />、バーンスタイン多項式は多項式の別形式での表現であるといえる（⇒[[#特性]]）<ref name=":0" />。

バーンスタイン形式の[[数値的安定性|数値的に安定な]]手法は、{{ill|ド・カステリョのアルゴリズム|en|de Casteljau's algorithm}}として知られている。

バーンスタイン多項式は[[セルゲイ・ベルンシュテイン]]が確率論を用いて[[ストーン＝ワイエルシュトラスの定理#ワイエルシュトラスの近似定理|ワイエルシュトラスの近似定理]]の別証明をする際に初めて導入された（{{Harvnb|Bernstein|1912}}）。のちに彼の名を取ってバーンスタイン多項式と呼ばれるようになった。

コンピュータ・グラフィックスの出現により、 {{Math|{{Math|''x''}}&nbsp;∈&nbsp;[0,&nbsp;1]}} の範囲におけるバーンスタイン多項式は、[[ベジェ曲線]]の重要な要素となった。

==定義==

=== バーンスタイン基底関数 ===
<math>n</math> 次の{{読み仮名|'''バーンスタイン基底関数'''|バーンスタインきていかんすう|{{lang-en-short|Bernstein basis polynomials}}}}<math>b_{\nu,n}(x)</math> は以下で定義される<ref>"バーンスタイン基底関数    <math>x_i^n = {}_n \! C_i t^i (1-t)^{n-i}</math> n は次数を表す" {{Harvnb|金森|2017}} より引用。</ref><ref group="注"><math>{n \choose \nu}</math> は[[二項係数]]</ref>：
:<math>b_{\nu,n}(x) = {n \choose \nu} x^{\nu} (1-x)^{n-\nu}, \qquad \nu=0,\ldots,n.</math>

<math>n</math> 次のバーンスタイン基底関数は、[[多項式#高々 n 次の多項式|高々 {{mvar|n}} 次の多項式]]からなるベクトル空間の基底をなす<ref name=":1">{{cite book
|last1 = Humpherys
|first1 = Jeffrey
|last2 = Jarvis
|first2 = Tyler J.
|last3 = Evans
|first3 = Emily J.
|title = Foundations of Applied Mathematics
|year = 2017
|publisher = [[SIAM (学会)|SIAM]] 
|isbn = 9781611974898
|page = {{google books quote|id=DEc3DwAAQBAJ|page=56|56}}
}}</ref>。

=== バーンスタイン多項式 ===
<math>n</math> 次のバーンスタイン多項式 <math>B_n(x)</math> は以下で定義される：

:<math>B_n(x) = \sum_{\nu=0}^{n} \beta_{\nu} b_{\nu,n}(x)</math>

すなわちバーンスタイン基底関数の線形結合であり、その係数 β<sub>ν</sub> は'''バーンスタイン係数'''あるいは'''ベジェ係数'''と呼ばれる。

==例==
バーンスタイン基底関数は以下のような式となる。
:<math>\begin{align}
&b_{0,0}(x) = 1       & &                     & & \\
&b_{0,1}(x) = 1-x     & &b_{1,1}(x) = x       & & \\
&b_{0,2}(x) = (1-x)^2 & &b_{1,2}(x) = 2x(1-x) & &b_{2,2}(x) = x^2 
\end{align}</math>

==特性==

=== バーンスタイン基底関数の特性 ===
バーンスタイン基底関数は以下のような特性を持つ。
*<math>b_{\nu,n}(x) = 0</math>, if ν < 0 or ν > {{Math|''n''}}
*<math>b_{\nu,n}(0) = \delta_{\nu,0}</math> and <math>b_{\nu,n}(1) = \delta_{\nu,n}</math>（ここで <math>\delta</math> は[[クロネッカーのデルタ]]関数）
*{{Math|''ν''}} ≠ 0 の時、<math>b_{\nu,n}(x) = 0</math> は {{Math|''x''}} = 0 に解を持つ
*{{Math|''ν''}} ≠ n の時、<math>b_{\nu,n}(x) = 0</math> は {{Math|''x''}} = 1 に解を持つ
*<math>b_{\nu,n}(1 - x) = b_{n-\nu,n}(x) </math>
*[[導関数]]は2つの低次な多項式により与えられる

::<math>b'_{\nu,n}(x) = n\left(b_{\nu-1,n-1}(x) - b_{\nu,n-1}(x)\right)</math>

*{{Math|''n''}} ≠ 0 の時、<math>b_{\nu,n}(x)</math> は {{Math|''x''}} = ν/{{Math|''n''}} に極大値を持ち、その値は　<math>\nu^{\nu}n^{-n}(n-\nu)^{n-\nu}{n\choose \nu}</math> となる

*高次のバーンスタイン基底関数の和としても記述可能

::<math>b_{\nu,n-1}(x)=\frac{n-\nu}{n}b_{\nu,n}(x)+\frac{\nu+1}{n}b_{\nu+1,n}(x).</math>

==== 二項分布と区間同値 ====
バーンスタイン基底関数は閉区間 <math>[0, 1]</math> （[[単位区間]]）において[[二項分布]]の[[確率質量関数]] <math>\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}</math> と同値である。

==== 区間正値 ====
バーンスタイン基底関数は開区間 <math>(0, 1)</math> において正の値のみをとる。すなわち <math>b_{\nu,n}(x) > 0 \ for \ x \in (0, 1) </math> 。

==== 区間非負 ====
バーンスタイン基底関数は閉区間 <math>[0, 1]</math> （[[単位区間]]）において非負の値のみをとる。すなわち <math>b_{\nu,n}(x) \geq 0 \ for \ x \in [0, 1] </math> 。

これは <math>0 \leq x, \ 0 \leq (1-x) \ for \ x \in \left[0,1\right] </math> かつ[[二項係数]]が非負より明らかである。またこの関数がこの閉区間において二項分布と同値であることからも明らかである（⇒[[#二項分布と区間同値]]）。

==== 1の分割 ====
{{Math|''n''}} 次のバーンスタイン基底関数は[[1の分割]]をなす特性をもつ<ref>"<math>P(t) = \sum_{i=0}^n B_i^n P_i \qquad B_i^n = {}_n \! C_i t^i (1-t)^{n-i}</math> ある比率で各制御点の座標を混ぜ合わせる ... 混合比（和は 1 になる）    混合比を関数で表したものを「基底関数」とよぶ" {{Harvnb|金森|2017}} より引用。</ref>。

この特性は以下で示される：

<math>\sum_{\nu=0}^n b_{\nu,n}(x) = \sum_{\nu=0}^n {n \choose \nu} x^{\nu}(1-x)^{n-\nu} = (x+(1-x))^n = 1.</math>

また、バーンスタイン基底関数が二項分布の確率質量関数と同じ形であることからもこの特性がわかる（⇒[[#二項分布と区間同値]]）。

=== バーンスタイン多項式の特性 ===
バーンスタイン多項式は以下のような特性を持つ。

==== 高々 n 次の多項式と同値 ====
{{Math|''n''}} 次のバーンスタイン多項式は[[多項式#高々 n 次の多項式|高々 {{mvar|n}} 次の多項式]]と同値である。言い換えれば、高々 {{Math|''n''}} 次の多項式からなる[[ベクトル空間]]の任意の元を表現できる<ref name=":1" />。

{{Math|1=''n'' = 1}} を例にとると、1次バーンスタイン多項式 <math>B(x)</math> は次のように展開できる：

<math>B(x)
= \sum_{\nu=0}^{1} \beta_{\nu} b_{\nu,1}(x)
= \beta_0 (1-x) + \beta_1 x
= (\beta_1 - \beta_0) x + \beta_0</math>

ここで傾き <math>a</math>・切片 <math>b</math> の高々1次の多項式 <math>p(x) = ax + b</math> を <math>B(x)</math> が表現できるか考える。<math>\beta_0 = b</math>, <math>\beta_1 = a + b </math> とすると <math>B(x)</math> は、

<math>B(x)
= (a + b - b) x + b
= ax + b
= p(x)</math>

となる。ゆえに1次バーンスタイン多項式は高々1次の多項式と同値であるといえる。

この特性のためバーンスタイン多項式は多項式のバーンスタイン形式とも呼ばれる<ref name=":0" />。

==連続関数の近似==
[0, 1] の範囲において[[連続関数|連続な関数]] {{Math|''f''&thinsp;(''x'')}} を用いたバーンスタイン多項式

:<math>B_n(f)(x) = \sum_{\nu=0}^{n} f\left(\frac{\nu}{n}\right) b_{\nu,n}(x).</math>

は、[0, 1] の範囲で以下のように、一様に収束する。 
:<math>\lim_{n\rightarrow\infty} B_n(f)(x)=f(x)</math>

このことは、[[各点収束]]するが[[一様収束]]はしないという命題に比べ、より強い命題である。この一様収束は、以下のように明確に示される。

:<math>\lim_{n\rightarrow\infty} \sup_{0\leq x\leq 1} \left|f(x)-B_n(f)(x)\right| = 0.</math>

上述のように、バーンスタイン多項式は[[ストーン＝ワイエルシュトラスの定理#ワイエルシュトラスの近似定理|ワイエルシュトラスの近似定理]]の証明にも用いられる。

また、より一般的に、連続な k 次導関数についても、

:<math>\| B_n(f)^{(k)} \|_\infty \le {(n)_k \over n^k} \| f^{(k)} \|_\infty\text{ and }\|f^{(k)}- B_n(f)^{(k)} \|_\infty \rightarrow 0,</math>

であることが示せる。ここで <math>{(n)_k \over n^k}= \left(1-{0 \over n}\right)\left(1-{1 \over n}\right) \cdots \left(1-{k-1 \over n}\right)</math> は <math>B_n</math> の[[固有値]]である。<!-- 調和固有関数は k 次の多項式。-->
<!--
==証明==
{{Math|''K''}} が[[確率変数]]と仮定し、[[ベルヌーイ試行]]-->
==<math>\lim_{n\rightarrow\infty} B_n(f)(x)=f(x)</math>であることの初等的な説明==
:<math>b_{\nu,n}(x)={n \choose \nu} x^{\nu} (1-x)^{n-\nu}</math>
は確率 {{Math|''x''}} で事象 {{Math|''p''}} が起こる試行を {{Math|''n''}} 回繰り返したとき、事象 {{Math|''p''}} がちょうど{{Math|''ν''}}回起こる確率を表す。試行をn回繰り返す場合において、{{Math|''p''}} が {{Math|''ν''}} 回起こったときに得られる確率変数を{{Math|''f''&thinsp;(''ν''/''n'')}}とすると、
:<math>B_n(f)(x) = \sum_{\nu=0}^{n} f\left(\frac{\nu}{n}\right) b_{\nu,n}(x).</math>
は期待値を表す。
一方、{{Math|''n''}} 回試行を繰り返す場合、事象 {{Math|''p''}} が起こる回数は平均して {{Math|''nx''}} である。よって、平均して得られる確率変数、すなわち期待値は {{Math|''f''&thinsp;({{Sfrac|''nx''|''n''}}) {{=}} ''f''&thinsp;(''x'')}} であると考えられる。今 {{Math|''ν''}} や {{Math|''n''}} は整数で、{{Math|''x''}} は {{Math|''n''}} を分母とする有理数とは限らないので {{Math|''B{{sub|n}}''&thinsp;(''f''&thinsp;)&thinsp;(''x'')}}と {{Math|''f''&thinsp;(''x'')}} の誤差も {{Math|0}} とは限らないが、{{Math|''n''}} を大きくしていくと両者の誤差は {{Math|0}} に近づいていくと考えられるので、
:<math>\lim_{n\rightarrow\infty} B_n(f)(x)=f(x)</math>
が成り立つ。

== 脚注 ==

=== 注釈 ===
{{Reflist|group=注}}

=== 出典 ===
{{reflist}}

== 参考文献 ==

* {{Cite journal|author=Bernstein|year=1912|title=Démonstration du Théorème de Weierstrass fondée sur le calcul des Probabilités|url=https://www.math.auckland.ac.nz/hat/fpapers/bern1.pdf|journal=Communications of the Kharkov Mathematical Society|volume=XIII|pages=1-2|ref=harv}}（参考[https://nonagon.org/ExLibris/bernsteins-demonstration-du-theoreme-de-Weierstrass 英訳]）
* {{Citation|和書|ref=harv|title=第5回 曲線・曲面の表現 「ベジェ曲線」|last=金森|year=2017|url=https://kanamori.cs.tsukuba.ac.jp/lecture/old2017/cg_basics/05/05_slides.pdf|journal=筑波大学講義 コンピュータグラフィックス基礎}}

==関連項目==
*[[多項式]]
*[[ベジェ曲線]]
*[[多項式補間]]
*[[ニュートン補間]]
*[[ラグランジュ補間]]

==外部リンク==
*{{MathWorld|urlname=BernsteinPolynomial|title=Bernstein Polynomial}}
*[http://www.ams.org/featurecolumn/archive/bezier.html From Bézier to Bernstein]
*[http://www.idav.ucdavis.edu/education/CAGDNotes/Bernstein-Polynomials.pdf BERNSTEIN POLYNOMIALS by Kenneth I. Joy ]
{{PlanetMath attribution|id=39775|title=properties of Bernstein polynomial}} 

{{デフォルトソート:はあんすたいんたこうしき}}
[[Category:数値解析]]
[[Category:多項式]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:人名を冠した数式]]