バーンズのゼータ函数のソースを表示

[[数学]]において、'''バーンズのゼータ函数'''とは{{harvs|txt|authorlink=E. W. Barnes|first=E. W. |last=Barnes|year=1901}}によって導入された[[リーマンゼータ函数]]の一般化である。この関数はさらに[[新谷のゼータ函数]]に一般化される。

==定義==
バーンズのゼータ函数は次のように定義される。

: <math>\zeta_N(s,w|a_1,...,a_N)=\sum_{n_1,\dots,n_N\ge 0}\frac{1}{(w+n_1a_1+\cdots+n_Na_N)^s}</math>
ここで、''w''と''a''<sub>''j''</sub>は実部が正で、''s''の実部は''N''よりも大きいものとする。

全ての複素数''s''に[[解析接続]]可能であり、''s'' = 1, 2, ..., ''N''において単純極を持つ以外に[[特異点 (数学)|特異点]]を持たない。特に、''N''&nbsp;=&nbsp;''w''&nbsp;=&nbsp;''a''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;1のとき、リーマンゼータ函数となる。

==参考文献==
*{{Citation | last1=Barnes | first1=E. W. | title=The Theory of the Double Gamma Function. [Abstract] | jstor=116064 | publisher=The Royal Society | year=1899 | journal=Proceedings of the Royal Society of London | issn=0370-1662 | volume=66 | pages=265–268 | doi=10.1098/rspl.1899.0101}}
*{{Citation | last1=Barnes | first1=E. W. | title=The Theory of the Double Gamma Function | jstor=90809 | publisher=The Royal Society | year=1901 | journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character | issn=0264-3952 | volume=196 | pages=265–387 | doi=10.1098/rsta.1901.0006}}
*{{citation|first=E. W. |last=Barnes|title=On the theory of the multiple gamma function|journal=    Trans. Cambridge Philos. Soc. |volume=19 |year=1904|pages=374–425}}
*{{Citation | last1=Friedman | first1=Eduardo | last2=Ruijsenaars | first2=Simon | title=Shintani&ndash;Barnes zeta and gamma functions | doi=10.1016/j.aim.2003.07.020 | mr=2078341 | year=2004 | journal=Advances in Mathematics | issn=0001-8708 | volume=187 | issue=2 | pages=362–395}}
*{{Citation | last1=Ruijsenaars | first1=S. N. M. | title=On Barnes' multiple zeta and gamma functions | doi=10.1006/aima.2000.1946 | mr=1800255 | year=2000 | journal=Advances in Mathematics | issn=0001-8708 | volume=156 | issue=1 | pages=107–132}}

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