バーンズのゼータ函数

数学において、バーンズのゼータ函数とはテンプレート:Harvsによって導入されたリーマンゼータ函数の一般化である。この関数はさらに新谷のゼータ函数に一般化される。

定義

バーンズのゼータ函数は次のように定義される。

ζ_{N} (s, w | a_{1}, . . ., a_{N}) = \sum_{n_{1}, \dots, n_{N} \geq 0} \frac{1}{(w + n_{1} a_{1} + \dots + n_{N} a_{N})^{s}}

ここで、wとa_jは実部が正で、sの実部はNよりも大きいものとする。

全ての複素数sに解析接続可能であり、s = 1, 2, ..., Nにおいて単純極を持つ以外に特異点を持たない。特に、N = w = a₁ = 1のとき、リーマンゼータ函数となる。