パウリ行列のソースを表示

'''パウリ行列'''（パウリぎょうれつ、{{lang-en-short|Pauli matrices}}）、'''パウリのスピン行列'''（パウリのスピンぎょうれつ、{{lang-en-short|Pauli spin matrices}}）とは、下に挙げる3つの[[複素行列|複素]]2次[[正方行列]]の組のことである<ref name ="igi_kawai1994">猪木、河合（1994）、第7章</ref><ref name ="sakurai_napolitano2010">J.J Sakurai and Jim Napolitano（2010), chapter 3</ref>。{{mvar|σ}}（[[Σ|シグマ]]）で表記されることが多い。[[量子力学]]の[[スピン角運動量]]や、[[部分偏極状態]]の記述方法に関連が深い。1927年に物理学者[[ヴォルフガング・パウリ]]によって、スピン角運動量の記述のために導入された<ref name="pauli1927">{{Cite journal |author= |year=1927 |title=Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons |journal=[[Zeitschrift für Physik]] |volume=43 |issue=9 |pages=601-623 |ref=harv |issn=0044-3328 |first1=W. |last1=Pauli |doi=10.1007/BF01397326}}</ref>。
:<math>\sigma_1 = \sigma_x = \begin{bmatrix}
0 &1 \\
1 &0
\end{bmatrix}\mbox{, } \quad
\sigma_2 = \sigma_y = \begin{bmatrix}
0 &-i \\
i &0
\end{bmatrix} \mbox{, } \quad
\sigma_3 = \sigma_z = \begin{bmatrix}
1 &0 \\
0 &-1
\end{bmatrix}</math>
添字は[[数学]]では 1, 2, 3 が、[[物理学]]では x, y, z が使われる。[[座標系]]によっては添字と3つの行列の対応が違ったり、あるいは符号が違ったり、さらには一見全く違って見えることもあるが、本質的な性質は変わらない。

上記3つに[[単位行列]] {{mvar|I}} を加えた4つの行列をパウリ行列と呼ぶこともある。
:<math>\sigma_0 = I = \begin{bmatrix}
1 &0 \\
0 &1
\end{bmatrix}</math>

== 基本的な性質 ==
パウリ行列は次の性質を満たす<ref name ="igi_kawai1994"/><ref name ="sakurai_napolitano2010"/>。

=== エルミート性・ユニタリ性 ===
パウリ行列は
:<math>{\sigma_k}^\dagger =\sigma_k \qquad (k=1,2,3)</math>
を満たす[[エルミート行列]]であり、
:<math>{\sigma_k}^\dagger \sigma_k =\sigma_k {\sigma_k}^\dagger = I \qquad (k=1,2,3)</math>
を満たす[[ユニタリ行列]]でもある。

=== パウリ行列の積 ===
パウリ行列の[[自乗]]は単位行列に等しい。
:<math>{\sigma_1}^2 = {\sigma_2}^2 = {\sigma_3}^2 = I</math>
また相異なるパウリ行列同士の積は次の関係を満たす。
:<math>\sigma_1 \sigma_2 = -\sigma_2 \sigma_1 = i \sigma_3, \quad
       \sigma_2 \sigma_3 = -\sigma_3 \sigma_2 = i \sigma_1, \quad
       \sigma_3 \sigma_1 = -\sigma_1 \sigma_3 = i \sigma_2</math>
すなわち {{math2|''i'', ''j'', ''k'' {{=}} 1, 2, 3}} について
:<math>\begin{cases}
{\sigma_i}^2 &= I = -i \sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 \\
\sigma_i \sigma_j &= -\sigma_j \sigma_i \qquad (i \ne j)
\end{cases}</math>
が成り立つ。ここで[[クロネッカーのデルタ]] {{mvar|δ{{sub|ij}}}} と[[エディントンのイプシロン]] {{mvar|ε{{sub|ijk}}}} を用いれば、これらをまとめて
:<math>\sigma_i \sigma_j = \delta_{ij} I + i \textstyle\sum\limits_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} \sigma_k \qquad (i,j,k=1,2,3)</math>
と書くことができる。

=== 交換関係・反交換関係 ===
パウリ行列の[[交換関係 (量子力学)|交換関係]]と[[反交換関係]]は一般的に
:<math>\begin{align}[]
[ \sigma_i, \sigma_j ] &= \sigma_i \sigma_j - \sigma_j \sigma_i = 2i \textstyle\sum\limits_{k=1}^3 \epsilon_{ijk} \sigma_k, \\
\{ \sigma_i, \sigma_j \} &= \sigma_i \sigma_j + \sigma_j \sigma_i = 2\delta_{ij} I
\end{align}</math>
となる。
{| style="text-align:left;"
!交換関係
!反交換関係
|-
|<math>\begin{align}
\left[\sigma_1, \sigma_1\right] &= 0 \\
\left[\sigma_1, \sigma_2\right] &= 2i\sigma_3 \\
\left[\sigma_2, \sigma_3\right] &= 2i\sigma_1 \\
\left[\sigma_3, \sigma_1\right] &= 2i\sigma_2 
\end{align}</math>{{quad}}
|<math>\begin{align}
\left\{\sigma_1, \sigma_1\right\} &= 2I \\
\left\{\sigma_1, \sigma_2\right\} &= 0  \\
\left\{\sigma_2, \sigma_3\right\} &= 0  \\
\left\{\sigma_3, \sigma_1\right\} &= 0
\end{align}</math>
|}

=== 固有値・固有ベクトル ===
それぞれのパウリ行列は、[[固有値]] {{math|+1}} と {{math|&minus;1}} を持つ。それぞれの[[規格化]]された[[固有ベクトル]]は、
:<math>\begin{alignat}{4}
 &|\sigma_{1,+} \rangle ={}& \frac{1}\sqrt{2} &\begin{bmatrix}
1 \\
1
\end{bmatrix},&\qquad &|\sigma_{1,-} \rangle ={} &\frac{1}\sqrt{2} &\begin{bmatrix} 1 \\
-1 \end{bmatrix} \\
 &|\sigma_{2,+} \rangle ={}& \frac{1}\sqrt{2} &\begin{bmatrix}
1 \\
i
\end{bmatrix},& &|\sigma_{2,-} \rangle ={} &\frac{1}\sqrt{2} &\begin{bmatrix}
1 \\
-i \end{bmatrix} \\
 &|\sigma_{3,+} \rangle ={} & &\begin{bmatrix}
1 \\
0 \end{bmatrix}, & &|\sigma_{3,-}\rangle ={} & &\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
\end{alignat}</math>
である。

=== トレース・行列式 ===
パウリ行列 {{math2|''σ{{sub|k}}'' (''k'' {{=}} 1, 2, 3)}} の[[跡 (線型代数学)|トレース]] (Tr) は {{math|0}} となり、[[行列式]] (det) は {{math|&minus;1}} となる。
:<math>\begin{align}
\operatorname{Tr} (\sigma_k ) &=0 \\
\det(\sigma_k ) &=-1
\end{align}</math>

2次単位行列 {{math|''σ''{{sub|0}} {{=}} ''I''}} を含めた場合、
:<math>\begin{align}
\operatorname{Tr} (\sigma_0 ) &= 2 \\
\det(\sigma_0 ) &= 1
\end{align}</math>
である。

単位行列を含めたパウリ行列 {{math2|''σ{{sub|μ}}'' (''μ'' {{=}} 0, 1, 2, 3)}} について、
:<math>\operatorname{Tr} (\sigma_\mu \sigma_\nu) = 2 \delta_{\mu \nu} \quad (\mu ,\nu =0,1,2,3)</math>
が成り立つ。よって、複素2次正方行列空間 {{math|Mat(2,'''C''')}} において、単位行列を含めたパウリ行列は{{Ill|ヒルベルト＝シュミット内積|en|Hilbert–Schmidt operator}} {{math|&lang;''A'', ''B''&rang; {{=}} Tr(''A''{{sup|&dagger;}}''B'')}} について、直交する。

== 複素行列の展開 ==
複素2次正方行列空間 {{math|Mat(2,'''C''')}} において、単位行列を含むパウリ行列は[[直交]][[基底 (線型代数学)|基底]]をなす<ref>内積はヒルベルト＝シュミット内積とする。</ref>。よって、任意の複素2次行列 {{mvar|A}} は単位行列を含むパウリ行列 {{math2|''σ{{sub|μ}}'' (''μ'' {{=}} 0, 1, 2, 3)}} の[[線形結合]]として、次の形で書ける。
:<math>A=s_0 I + s_ 1\sigma_1 + s_2 \sigma_2 + s_3 \sigma_3 = \textstyle\sum\limits_{\mu=0}^3 s_{\mu} \sigma_{\mu}</math>

ここで複素係数 {{mvar|s{{sub|μ}}}} は
:<math>s_{\mu} = \frac{1}{2} \operatorname{Tr} (A\sigma_\mu) \quad (\mu=0,1,2,3)</math>
で与えられる。

また、任意の2次エルミート行列 {{mvar|A}} は単位行列を含むパウリ行列の線形結合で書いたとき、係数 {{mvar|s{{sub|μ}}}} は[[実数]]になる。

部分偏極状態を表現する[[コヒーレンス行列]]はエルミート行列であるが、これをパウリ行列で展開した係数を要素とするベクトル（[[実ベクトル]]）は{{Ill|ストークスベクトル|en|Stokes vector}}と呼ばれる。ストークスベクトルは、ある種の[[射影空間]]である[[ポアンカレ球]]の座標系を作る。

== 指数関数 ==
パウリ行列の性質
:<math>{\sigma_i}^2 =I</math>
から、その[[行列指数関数]]は[[オイラーの公式]]の類似である関係式
:<math>\exp(i a \sigma_i) =I\cos a + i\sigma_i \sin a  \quad (a \in \mathbb{C})</math>
を満たす<ref name="hirai_yamashita2003">平井、山下 (2003)、第4章</ref>。
さらに実ベクトル {{math|{{vec|''a''}} {{=}} (''a''{{sub|1}}, ''a''{{sub|2}}, ''a''{{sub|3}}) ∈ '''R'''{{sup|3}}}} とパウリ行列の組 {{math2|{{vec|''σ''}} {{=}} (''σ''{{sub|1}}, ''σ''{{sub|2}}, ''σ''{{sub|3}})}} に対し、
:<math>\exp(i \vec{a} \cdot \vec{\sigma}) = I \cos{|\vec{a}|} + i (\vec{n} \cdot \vec{\sigma})\sin{|\vec{a}|} </math>
が成り立つ<ref name="sakurai_napolitano2010"/>。ただし、{{math|{{vec|''n''}}}} は
:<math>\vec{n} =\frac{1}{|\vec{a}|} (a_1, a_2, a_3)</math>
で与えられる[[単位ベクトル]]である。

{{math|{{vec|''a''}}}} が実ベクトルの場合、{{math|exp(''i'' {{vec|''a''}}&sdot;{{vec|''σ''}})}} は2次[[特殊ユニタリ群]] {{math|SU(2)}} の元となる。これはパウリ行列に虚数単位を乗じた {{math2|''iσ{{sub|k}}'' (''k'' {{=}} 1, 2, 3)}} が {{math|SU(2)}} に対応する[[リー代数]] {{math|&#120112;&#120114;(2)}} の[[基底 (線型代数学)|基底]]であることによる。

== SU(2)の生成子 ==
パウリ行列は、行列式を {{math|1}} とする 2次[[ユニタリ行列]]がなす2次特殊ユニタリ群 {{math|SU(2)}} に対応するリー代数 {{math|&#120112;&#120114;(2)}} の生成子である<ref name ="igi_kawai1994"/><ref name="hirai_yamashita2003"/><ref name ="satoh1992_ch5">佐藤 (1992)、第5章</ref>。パウリ行列に {{math|&minus;{{sfrac|''i''|2}}}} を乗じた
:<math>\begin{align}
X_1 &= -\frac{i}{2}\sigma_1 = \begin{bmatrix}
0 &-i/2 \\
-i/2 &0
\end{bmatrix} \\
X_2 &= -\frac{i}{2} \sigma_2 = \begin{bmatrix}
0 &-1/2 \\
1/2 &0
\end{bmatrix} \\
X_3 &= -\frac{i}{2} \sigma_3 = \begin{bmatrix}
-i/2 &0 \\
0 & i/2
\end{bmatrix}
\end{align}</math>
は {{math|&#120112;&#120114;(2)}} の基底であり、交換関係
:<math>[X_1, X_2] = X_3, \, [X_2, X_3] = X_1, \, [X_3, X_1] = X_2</math>
を満たす。{{math|&#120112;&#120114;(2)}} はトレースが {{math|0}} かつ反エルミート
:<math>\begin{align}
\operatorname{Tr}(X) &= 0 \\
X^{\dagger} &= -X
\end{align}</math>
である元 {{mvar|X}} から構成されるが、{{math2|''X''{{sub|1}}, ''X''{{sub|2}}, ''X''{{sub|3}}}} はこの性質を満たす。[[コンパクト空間|コンパクト]]で[[連結空間|連結]]な線形リー群である
{{math|SU(2)}} の任意の元は、[[リー環の指数写像]]によって、
:<math>\exp(\sum\limits_{k=1}^3 t_k X_k) \quad (t_1,t_2, t_3 \in \mathbb{R})</math>
の形で与えることができる。

== スピン角運動量 ==
{{main|スピン角運動量}}
量子力学において、パウリ行列はスピン {{math|{{sfrac|1|2}}}} の[[角運動量演算子]]の表現に現れる<ref name ="igi_kawai1994"/><ref name ="sakurai_napolitano2010"/>。角運動量演算子 {{math2|''J''{{sub|1}}, ''J''{{sub|2}}, ''J''{{sub|3}}}} は交換関係
:<math>[J_1, J_2]=i \hbar J_3, \, [J_2, J_3]=i \hbar J_1, \, [J_3, J_1]=i \hbar J_2</math>
を満たす。ただし、{{math|&#8463; {{=}} {{sfrac|''h''|2''π''}}}} は[[ディラック定数]]である。エディントンのイプシロン {{math|''&epsilon;{{sub|ijk}}''}} を用いれば、この関係式は
:<math>[J_i, J_j] =i \hbar \textstyle\sum\limits_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} J_k</math>
と表すことができる。ここで、
:<math>\begin{align}
J_1^{1/2} &= \frac{\hbar}{2} \sigma_x = \frac{\hbar}{2} \begin{bmatrix}
0 &1 \\
1 &0
\end{bmatrix} \\
J_2^{1/2} &= \frac{\hbar}{2} \sigma_y = \frac{\hbar}{2} \begin{bmatrix}
0 &-i \\
i &0
\end{bmatrix} \\
J_3^{1/2} &= \frac{\hbar}{2} \sigma_z = \frac{\hbar}{2} \begin{bmatrix}
1 &0 \\
0 &-1
\end{bmatrix}
\end{align}</math>
を導入すると、これらは上記の角運動量演算子の交換関係を満たしている。{{math2|''J''{{sub|1}}, ''J''{{sub|2}}, ''J''{{sub|3}}}} の交換関係はゼロではないため、同時に[[対角化]]できないが、この表現は {{math|''J''{{sub|3}}}} を選び対角化している。{{math|''J''{{sub|3}}{{sup|1/2}}}} の固有値は {{math|+{{sfrac|&#8463;|2}}, &minus;{{sfrac|&#8463;|2}}}} であり、スピン {{math|{{sfrac|1|2}}}} の状態を記述する。

== ガンマ行列の表現 ==
{{main|ガンマ行列}}
パウリ行列は[[ガンマ行列]]の特定の表現を構成するのに用いられる。ガンマ行列 {{math|''σ{{sup|μ}}''}} ({{math|''μ''{{=}} 0, 1, 2, 3}}) は反交換関係
:<math>\{ \gamma^\mu, \gamma^\nu \} = \gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu = 2g^{\mu\nu} I</math>
を満たすものとして定義される。ただし、{{mvar|I}} は単位元であり、{{math2|''g{{sup|μν}}'' (''μ'', ''ν'' {{=}} 0, 1, 2, 3)}} は4次元時空の[[ミンコフスキー計量]] {{math2|1=''g'' = (''g{{sup|μν}}'') = diag(+1, &minus;1, &minus;1, &minus;1)}} である。このとき、2次単位行列 {{math|''I''{{sub|2}}}} とパウリ行列により、4次正方行列
:<math>\gamma^0 = \begin{bmatrix}
 I_2 & 0 \\
 0 & -I_2 \\
\end{bmatrix}, \, \gamma^j = \begin{bmatrix}
0 & \sigma_j \\
-\sigma_j &0
\end{bmatrix} \quad (j=1,2,3)</math>

を導入すると、これらは上記の反交換関係を満たし、ガンマ行列の表現を与える。これをガンマ行列のディラック表現と呼ぶ。これは次の直積に対する4次正方行列表現である。
:<math>\gamma^0 = \sigma_3 \otimes I_2, \, \gamma^j = i\sigma_2 \otimes \sigma_j \quad (j=1,2,3)</math>

== 順時固有ローレンツ群とSL(2,C) ==
パウリ行列は[[順時固有ローレンツ群]] {{math|''L''{{sup|&uarr;}}{{sub|+}}}} とその[[普遍被覆群]]である2次[[特殊線形群]] {{math|SL(2, '''C''')}} を対応づけるのに用いられる<ref name ="satoh1992_ch8">佐藤 (1992)、第8章</ref><ref name ="hirai_yamashita2003_ch5">平井、山下 (2003)、第5章</ref>。[[ローレンツ群]] {{math|L {{=}} O(3, 1)}} は[[一般線形群]] {{math|GL(4, '''R''')}} の元 {{mvar|Λ}} で4次元時空のミンコフスキー計量 {{math2|1=''g'' = (''g{{sub|μν}}'') = diag(+1 ,&minus;1, &minus;1, &minus;1) (''μ'', ''ν'' = 0, 1, 2, 3)}} に対し、{{math2|''Λ''{{sup|T}}''gΛ'' {{=}} ''g''}} を満たし、[[ミンコフスキー空間#ミンコフスキー内積|ミンコフスキー内積]]を保つものから成る。
:<math>L= \{ \Lambda \in GL(4, \mathbb{R})| \, \Lambda^Tg\Lambda=g \}</math>
一方、順時固有ローレンツ群 {{math|''L''{{sup|&uarr;}}{{sub|+}} {{=}} SO{{sup|+}}(3, 1)}} はローレンツ群の連結な[[正規部分群]]であり、00成分と行列式の符号についての条件から
:<math>L^{\uparrow}_+ = \{ \Lambda \in L | \, \Lambda_{00} \geq 1, \det{\Lambda}=1 \}</math>

として、定義される<ref>[[相対性理論|相対論]]での慣習に従い、添え字は 0, 1, 2, 3 をとるものとする。</ref>。ここで[[4元ベクトル]] {{math2|''x'' {{=}} (''x''{{sup|0}}, ''x''{{sup|1}}, ''x''{{sup|2}}, ''x''{{sup|3}})}} に対し、パウリ行列 {{math|1=''σ''{{sub|0}} = ''I'', {{vec|''σ''}} = (''σ''{{sub|1}}, ''σ''{{sub|2}}, ''σ''{{sub|3}})}} により、2次正方行列
:<math>X=\textstyle\sum\limits_{\mu=0}^3 \sigma_{\mu} x^{\mu} = x^0 I+ \vec{x} \cdot \vec{\sigma} = \begin{bmatrix}
x^0 + x^3 &x^1 +ix^2 \\
x^1 -ix^2 &x^0 -x^3
\end{bmatrix}</math>
を導入する。その行列式は
:<math>\det X=(x^0)^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2</math>
であり、ミンコフスキー内積 {{math|&lang;''x'', ''x''&rang;}} を与える。ここで {{math|SL(2, '''C''')}} の元 {{mvar|A}} により、変換
:<math>X' =AXA^{\dagger}</math>
を定義すると、
:<math>\det X'= \det X</math>
であり、ミンコフスキー内積を保ち、順時固有ローレンツ変換 {{math|''Λ''(''A'')}} を与える。さらに、{{math|±''A''}} は同じローレンツ変換 {{math|''Λ''(''A'') {{=}} ''Λ''(&minus;''A'')}} を与えることから、これは {{math|SL(2, '''C''')}} から {{math|''L''{{sup|&uarr;}}{{sub|+}}}} への2対1の準同型写像を与える。その[[核 (代数学)|核]]は {{math|Z{{sub|2}} {{=}} {{mset|±1}}}} であり、[[群同型|群の同型対応]]
:<math>SL(2, \mathbb{C})/\mathbb{Z}_2 \cong L^{\uparrow}_+</math>
が成り立つ。

== 四元数の表現 ==
パウリ行列により、[[四元数]]の2次正方行列表現を与えることができる。
:<math>e_k= -i \sigma_k \quad (k=1,2,3)</math>
を導入すると、関係式
:<math>{e_1}^2 = {e_2}^2 = {e_3}^2 =-I</math>
:<math>e_1 e_2 = -e_2 e_1 = e_3, \, e_2 e_3 = -e_3 e_2 = e_1, \, e_3 e_1 = -e_1 e_3 = e_2</math>
を満たす。これは四元数の基底元 {{math2|''i'', ''j'', ''k''}} が満たす関係式
:<math>i^2 = j^2 = k^2 =-1</math>
:<math>ij = -ji= k, \, jk = -kj = i, \, ki = -ik = j</math>
と対応する。[[四元数環]] {{mathbf|H}} から複素[[行列環]] {{math|Mat(2,'''C''')}} への{{math|'''R'''-}}線形写像
:<math>a1+bi+cj+dk \mapsto aI+be_1+ce_2+de_3\ \quad (a,b,c,d \in \mathbb{R})</math>
は和と積と保ち、四元数の2次正方行列表現を与える。この[[像 (数学)|像]]は
:<math>M= \left\{ \begin{bmatrix}
a-di &-(c+bi) \\
c-bi &a+di
\end{bmatrix} \, \Biggl| \, a,b,c,d \in \mathbb{R} \right\} = \left\{ \begin{pmatrix}
\alpha &\beta \\
-\bar{\beta} &\bar{\alpha}
\end{pmatrix}\, \Biggl| \, \alpha, \beta \in \mathbb{C} \right\}</math>
であり、{{mathbf|H}} と {{mvar|M}} は {{math|'''R'''-}}[[体上の多元環|多元環]]として同型である。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* [[猪木慶治]]、[[川合光]]『量子力学I』 [[講談社]] (1994) ISBN 978-4061532090
* 佐藤光『物理数学特論 群と物理（パリティ物理学コース）』[[丸善]] (1992) ISBN 978-4621037874
* [[平井武]]、[[山下博]]『表現論入門セミナー ―具体例から最先端にむかって』遊星社 (2003) ISBN 978-4795268982
* J.J Sakurai and Jim Napolitano, ''Modern Quantum Mechanics'' (2nd edition), Addison Wesley (2010) ISBN 978-0805382914

== 関連項目 ==
*[[ヴォルフガング・パウリ]]
*[[ガンマ行列]]
*[[四元数]]

{{DEFAULTSORT:はうりきようれつ}}
[[Category:行列]]
[[Category:量子力学]]
[[Category:回転対称性]]
[[Category:ヴォルフガング・パウリ]]
[[Category:人名を冠した数式]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]