パップス円鎖のソースを表示


[[ファイル:Pappus_Chain_Full.svg|サムネイル|パップス円鎖]]
[[幾何学]]において'''パップス円鎖'''（パップスえんさ<ref>{{Cite book|和書 |title=数学オリンピック幾何への挑戦、ユークリッド幾何学をめぐる船旅 |date=2023-2-15 |publisher=[[日本評論社]] |page=218 |isbn=978-4-535-78978-4}}</ref>、{{Lang-en|Pappus chain}}）は紀元前3世紀の数学者、[[パップス|アレキサンドリアのパップス]]の名を冠する2つの{{仮リンク|接円|en|tangent circles|label=接する円}}に関する図形である。

== 構成 ==
内接する2円{{Mvar|C{{sub|U}},C{{sub|V}}}}で[[アルベロス|アルベロス図形]]を描く。またそれぞれの[[半径]]を{{Mvar|r{{sub|U}}, r{{sub|V}}}}、中心を{{Mvar|U, V}}とする。 パップス円鎖は{{Mvar|C{{sub|U}},C{{sub|V}}}}にそれぞれ内部、外部で[[接する|接し]]、また、両隣の円にも接するような円の成す図形である。以降、{{Mvar|n}}つめの円{{Mvar|C{{sub|n}}}}の半径、直径、中心をそれぞれ{{Mvar|r<sub>n</sub>, d{{sub|n}}, P{{sub|n}}}}とする。ただし0つ目の円は{{Mvar|U, V}}と中心が[[共線]]であるものとする。

== 性質 ==

=== 円の中心 ===

==== 楕円 ====
パップス円鎖を成す円の中心は常に以下の{{Mvar|P{{sub|n}}}}の軌跡が成す[[楕円]]上にある。<math display="block">
\overline{P_nU} + \overline{P_nV} = 
(r_U + r_n) + (r_V - r_n) = r_U + r_V </math>つまりこの楕円の[[焦点 (幾何学)|焦点]]は{{Mvar|U, V}}で、アルベロス図形の線分{{Mvar|{{overline|AB}}, {{overline|AC}}}}の中点に対応している。

==== 座標 ====
<math>r = \tfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}}</math>とすると{{Mvar|C{{sub|n}}}}の中心の座標は以下の様に与えられる。<math display="block">(x_n,y_n) = \left(\frac{r(1+r)}{2[n^2(1-r)^2+r]}~,~\frac {nr(1-r)}{n^2(1-r)^2+r}\right)</math>

=== 半径 ===
<math>r = \tfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}}</math>とすると''{{Mvar|C{{sub|n}}}}''の半径{{Mvar|r<sub>n</sub>}}は以下の様に与えられる。<math display="block">r_n = \frac {(1-r)r}{2[n^2(1-r)^2 + r]}</math>

=== 反転 ===
[[ファイル:Pappus_Chain_Theorem.svg|右|サムネイル|250x250ピクセル|パップス円鎖の4つの円{{Mvar|A}}を中心とする円により反転したもの。半径は等しくなり2本の直線に挟まれている。{{Mvar|C{{sub|U}},C{{sub|V}}}}の中心を通る線からの距離は{{Math|1=''h{{sub|n}}'' = ''nd{{sub|n}}''}}である。]]
[[直線]]{{Mvar|ACB}}を直径とする半円に内接し{{Mvar|AC}}を直径とする半円に外接する円が、さらに一つ前の円と接している（半円はどちらも同じ側にあるとする）。{{Mvar|n}}つ目の円の中心と直線{{Mvar|ACB}}の距離{{Mvar|h{{sub|n}}}}は{{Mvar|d{{sub|n}}}}の{{Mvar|n}}倍である。これは{{Mvar|A}}を中心とする{{Mvar|C{{sub|n}}}}に直交する円による[[反転幾何学|反転]]によって示すことができる（このとき{{Mvar|C{{sub|n}}}}は反転によって不変）。2つの[[アルベロス]]の円{{Mvar|C{{sub|U}},C{{sub|V}}}}は反転によって、{{Mvar|ACB}}に[[垂直]]な2直線となる。 {{Mvar|C{{sub|n}}}}はこの2直線に接している円となり、他のパップス円鎖を成す円はも同様に2直線に挟まれる位置に移る。また、その直径はすべて等しいことが分かる。{{Mvar|h{{sub|n}}}}の部分は、初めの円と最後の円{{Math|''C''<sub>0</sub>}}が{{Math|½''d{{sub|n}}''}}、他の{{Math|''C''<sub>1</sub>}}から{{Math|''C''<sub>''n''&minus;1</sub>}}が{{Mvar|d{{sub|n}}}}なので、結局{{Math|1=''h{{sub|n}}'' = ''nd<sub>n</sub>''}}が得られる。

同様の反転でパップス円鎖を成す円の隣り合う円との接点は同一円上にあることも示される。 上記の様に、{{Mvar|A}}を中心とする円での{{Mvar|C{{sub|U}}, C{{sub|V}}}}の反転は[[平行]]な2直線となり、パップス円鎖は、この2直線に挟まれた、同じ半径を持つ円を積んだものになる。したがって パップス円鎖を成す円同士の接点は2直線の中間を結ぶ直線となり、反転を戻すと円に戻る。

=== シュタイナーの円鎖 ===
パップス円鎖は[[シュタイナーの円鎖]]の2円を[[極限]]まで近づけた（接させた）ものである。

== 関連項目 ==

* [[アポロニウスのギャスケット]]
* [[アポロニウスの問題]]
* [[デカルトの円定理]]
* [[フォードの円]]

== 出典 ==
<references responsive="0"></references>

== 論文 ==

* {{Cite book |last=Ogilvy |first=C. S. |author-link=C. Stanley Ogilvy |year=1990 |title=Excursions in Geometry |publisher=Dover |isbn=0-486-26530-7 |pages=[https://archive.org/details/excursionsingeom0000ogil/page/54 54&ndash;55] |url=https://archive.org/details/excursionsingeom0000ogil/page/54}}
* {{Cite book |author-link=Leon Bankoff |last=Bankoff |first=L. |chapter=How did Pappus do it? |title=The Mathematical Gardner |editor-first=D. A. |editor-last=Klarner |publisher=Prindle, Weber, & Schmidt |location=Boston |year=1981 |pages=112–118}}
* {{Cite book |last=Johnson |first=R. A. |year=1960 |title=Advanced Euclidean Geometry: An elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle |edition=reprint of 1929 edition by Houghton Mifflin |publisher=Dover Publications |location=New York |isbn=978-0-486-46237-0 |pages=116&ndash;117}}
* {{Cite book |last=Wells |first=D. |year=1991 |title=The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry |url=https://archive.org/details/penguindictionar0000well/page/5 |publisher=Penguin Books |location=New York |isbn=0-14-011813-6 |pages=[https://archive.org/details/penguindictionar0000well/page/5 5&ndash;6]}}

== 外部リンク ==

* {{MathWorld|title=Pappus Chain|urlname=PappusChain|author=Floer van Lamoen and Eric W. Weisstein}}
* {{Cite web |author=Tan |first=Stephen |title=Arbelos |url=http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m308/projects/tan/html/home.html |access-date=2024/7/5}}
{{デフォルトソート:はっふすえんさ}}
[[Category:円に関する定理]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:無限]]