パフィアンのソースを表示

[[数学]]、特に[[線型代数]]において、'''パフィアン'''(ぱふぃあん、{{lang-en-short|Pfaffian}})もしくは'''パッフィアン'''とは、偶数次の[[交代行列]]に対して定義される[[斉次多項式]]で、'''[[行列式]]の[[平方根]]'''に相当する。一般的には行列式の平方根は[[根号]]を使って書き表す必要があるが、偶数次の[[交代行列]]の場合は行列の要素の[[多項式]]で平方根を書き表すことができることが知られており、これがパフィアンに相当する。

なお奇数次の歪対称行列の場合は行列式は常に {{math|0}} になることが知られている。よって奇数次の場合には「行列式の平方根」も {{math|0}} になる。


[[表現論]]や[[組合せ数学|組合せ論]]において応用されるほか、数理物理においては、[[可積分系]]の方程式の[[ソリトン]]解の表示や[[可解格子]]の一種である[[ダイマー模型]]の[[分配関数]]の計算等に応用される<ref name="kasteleyn1961">P. W. Kasteleyn, "The statistics of dimers on a lattice. I. The number of dimer arrangements on a quadratic lattice". ''Physica'' '''27''' (12) pp. 1209–1225 (1961). {{doi|10.1016/0031-8914(61)90063-5}}</ref>。パフィアンという語は、その性質を研究したイギリスの数学者[[アーサー・ケイリー]]によって名づけられたものであり<ref name="cayley1852">[[アーサー・ケイリー|A. Cayley]], "On the theory of permutants," ''Cambridge and Dublin Mathematical Journal'' '''7''' , pp. 40–51 (1852).</ref>、最初にパフィアンを導入したドイツの数学者{{仮リンク|J. F. パフ|en|Johann Friedrich Pfaff}}に因むものである<ref name="pfaff1814">J. F. Pfaff, [https://play.google.com/store/books/details?id=KoY_AAAAcAAJ "Methodus generalis, aequationes differentiarum partialium, nec non aequationes differentiales vulgares, utrasque primi ordinis, inter quotcunque variabiles, completi integrandi,"]
''Abhandlungen der Königlich-Preuß ischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Mathematische Klasse'' , pp. 76–136 (1814).
</ref>。

== 定義 ==
=== 一般的定義 ===
{{math|2''n''}} 次の交代行列 {{math2|1=''A'' = (''a{{sub|ij}}''){{sub|1≤''i'',''j''≤2''n''}} (''a{{sub|ij}}'' = −''a{{sub|ji}}'')}} に対し、
:<math>\operatorname{Pf}(A)= \textstyle\sum\limits_{\sigma \in F_{2n}} \sgn(\sigma) a_{\sigma(1)\sigma(2)} a_{\sigma(3)\sigma(4)} \cdots a_{\sigma(2n-1)\sigma(2n)}</math>
で定義される {{mvar|n}} 次の[[斉次多項式]] {{math|Pf(''A'')}} を {{mvar|n}} 次の'''パフィアン'''と呼ぶ。ただし、{{math|''F''{{sub|2''n''}}}} は {{math|2''n''}} 次の[[対称群]] {{math|''S''{{sub|2''n''}}}} の部分集合で、
:<math>F_{2n}= \{ \sigma \in S_{2n}| \, \sigma(2i-1) < \sigma(2i) \quad (1 \leq i \leq n), \, \sigma(1) < \sigma(3) \cdots < \sigma(2n-1) \}</math>
を満たすものとして定義される。現れる項の重複を許すならば、
:<math>\begin{align}
\operatorname{Pf}(A)
  &= \frac{1}{2^n n!} \textstyle\sum\limits_{\sigma \in S_{2n}} \sgn(\sigma) a_{\sigma(1)\sigma(2)} a_{\sigma(3)\sigma(4)} \cdots a_{\sigma(2n-1)\sigma(2n)} \\
  &= \frac{1}{ n!} \textstyle\sum\limits_{\sigma \in F_{2n}'} \sgn(\sigma) a_{\sigma(1)\sigma(2)} a_{\sigma(3)\sigma(4)} \cdots a_{\sigma(2n-1)\sigma(2n)}
\end{align}</math>
という表示も可能である。ただし
:<math>F_{2n}'= \{ \sigma \in S_{2n}| \, \sigma(2i-1) < \sigma(2i) \quad (i=1, \cdots, n) \}</math>
である。

=== 外積代数による導入 ===
ベクトル空間 {{mvar|V}} の基底 {{math2|''e''{{sub|1}}, ''e''{{sub|2}}, …, ''e''{{sub|2''n''}}}} を用い、[[外積代数]] {{math|Λ(''V'')}} における2形式
:<math>\omega = \textstyle\sum\limits_{i<j}a_{ij}e_i \wedge e_j \quad (a_{ij}=-a_{ji})</math>
を定義すると、その {{mvar|n}} 乗の[[外積代数|外積]]は
:<math>\wedge^{\, n} \omega = \omega \wedge \omega \wedge \cdots \wedge \omega = \frac{1}{n!} \operatorname{Pf}(A)e_1 \wedge e_2 \wedge \cdots \wedge e_{2n}</math>
であり、自然な形でパフィアンが現れる。

=== 記法 ===
パフィアンを表す記法としては、{{math|Pf(''A'')}} のほかに、行と列の区別を排した
:<math>\operatorname{Pf}(a_1,a_2, \cdots,a_{2n}), \,\,\, \operatorname{Pf}(1,2, \cdots, 2n) \quad ( \operatorname{Pf}(a_i, a_j)=a_{ij})</math>
といった記法がある。また、スコットランドの数学者{{仮リンク|トーマス・ミューア|en|Thomas Muir (mathematician)}}によって導入された行列式の記法 {{math|{{!}}''A''{{!}}}} において右上半分だけ表示する、
: <math>\left. \begin{matrix}
|a_{12} &a_{13} &\cdots &a_{1 2n} \\
        &a_{23} &\cdots &a_{2 2n} \\
        &       &\ddots &\vdots \\
        &       &       &a_{2n-1 2n}
\end{matrix} \right|</math>
も用いられる。

== 例 ==
便宜上、{{math|''F''{{sub|2''n''}}}} の元である[[置換 (数学)|置換]] {{mvar|σ}} を[[順列]] {{math2|(''σ''(1), …, ''σ''(2''n''))}} の形で表すこととする。

;{{math|1=''n'' = 1}} の場合
{{math2|1=''n'' = 1}} のときの {{math2|''F''{{sub|2}}}} の元は {{math2|(1, 2)}} だけであり、その符号 {{math2|sgn(''σ'')}} は {{math|+1}} であるから、
: <math>\operatorname{Pf}(A)=a_{12}</math>
となる。

;{{math|1=''n'' = 2}} の場合
{{math|1=''n'' = 2}} の場合は、{{math|''F''{{sub|4}}}} の元は {{math2|(1, 2, 3, 4), (1, 3, 2, 4), (1, 4, 2, 3)}} であり、それぞれの符号 {{math|sgn(''σ'')}} は {{math2|+1, &minus;1, +1}} であるから、
:<math>\operatorname{Pf}(A)=a_{12}a_{34}-a_{13}a_{24}+a_{14}a_{23}</math>
となる。

== 性質 ==
=== 基本的な性質 ===
最も基本的な性質は、交代行列 {{mvar|A}} に対して、その行列式との間に成り立つ関係式
:<math>\operatorname{det}(A)= ( \operatorname{Pf}(A))^2</math>
である。また、{{math2|2''n''}}次交代行列 {{mvar|A}}, {{math2|2''n''}}次正方行列 {{mvar|B}} に対して、
:<math>\operatorname{Pf}({}^t\!BAB) =\operatorname{det}(B) \operatorname{Pf}(A)</math>
が成り立つ。

また、{{mvar|n}}次正方行列 {{mvar|B}} について、
:<math>\operatorname{Pf} \begin{pmatrix}
0        &B \\
-{}^t\!B &0
\end{pmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\det B</math>.
が成り立つ。

=== 展開公式 ===
{{math2|2''n''}}次交代行列 {{mvar|A}} に対し、{{mvar|A}} から {{math2|''i'', ''j''}} 行、{{math2|''i'', ''j''}} 列を取り除いた {{math2|2(''n'' &minus; 2)}}次交代行列を {{math2|''A''{{sup|(''i'', ''j'')}}}} と表すと
: <math>\begin{align}
\operatorname{Pf}(A)
  &= \textstyle\sum\limits_{j=1}^{2n} (-1)^{i+j+1} a_{ij} \operatorname{Pf}(A^{(ij)}) \\
  &= \textstyle\sum\limits_{j=1}^{2n} (-1)^{i+j+1} \operatorname{Pf}(a_i, a_j) \operatorname{Pf}(a_1, \cdots, \hat{a_i}, \cdots , \hat{a_j}, \cdots, a_{2n})
\end{align}</math>
が成り立つ。ただし、2行目において、{{math|&circ;}} は、その成分を取り除くことを意味する。これは行列式における[[余因子展開]]に相当する。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* Thomas Muir (sir.), [https://books.google.co.jp/books?id=pk4DAAAAQAAJ&dq=thomas+muir+treatise+on+the+theory+of+determinant&psp=1&redir_esc=y&hl=ja ''A treatise on the theory of determinants"], Macmillan and Co. (1882)
* Thomas Muir (sir.), [https://archive.org/details/theoryofdetermin01muiruoft ''The theory of determinants in the historical order of development''], Macmillan and Co. (1906)
* Roe Goodman and Nolan R. Wallach, ''Symmetry, Representations, and Invariants (Graduate Texts in Mathematics)'' Springer (2009) ISBN 978-0387798516
* [[岡田聡一]]『古典群の表現論と組合せ論〈上〉（数理物理シリーズ）』培風館 (2006) ISBN 978-4563006631
* [[広田良吾]]『直接法によるソリトンの数理』岩波書店(1992) ISBN 978-4000056762
* [[高崎金久]]『線形代数と数え上げ』日本評論社 (2012) ISBN 978-4535786806

== 関連項目 ==
* [[行列式]]

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|1290|行列のパフィアン，パーマネント，ハフニアン}}

{{DEFAULTSORT:はふいあん}}
[[Category:線型代数学]]
[[Category:行列式]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:人名を冠した数式]]