パフィアン

数学、特に線型代数において、パフィアン(ぱふぃあん、テンプレート:Lang-en-short)もしくはパッフィアンとは、偶数次の交代行列に対して定義される斉次多項式で、行列式の平方根に相当する。一般的には行列式の平方根は根号を使って書き表す必要があるが、偶数次の交代行列の場合は行列の要素の多項式で平方根を書き表すことができることが知られており、これがパフィアンに相当する。

なお奇数次の歪対称行列の場合は行列式は常に テンプレート:Math になることが知られている。よって奇数次の場合には「行列式の平方根」も テンプレート:Math になる。

表現論や組合せ論において応用されるほか、数理物理においては、可積分系の方程式のソリトン解の表示や可解格子の一種であるダイマー模型の分配関数の計算等に応用される。パフィアンという語は、その性質を研究したイギリスの数学者アーサー・ケイリーによって名づけられたものであり、最初にパフィアンを導入したドイツの数学者テンプレート:仮リンクに因むものである。

定義

一般的定義

テンプレート:Math 次の交代行列 テンプレート:Math2 に対し、

$\mathrm{Pf}(A)=\sum _{\sigma \in F_{2n}}\mathrm{sgn}(\sigma )a_{\sigma (1)\sigma (2)}{a}_{\sigma (3)\sigma (4)}\cdots a_{\sigma (2n-1)\sigma (2n)}$

で定義される テンプレート:Mvar 次の斉次多項式 テンプレート:Math を テンプレート:Mvar 次のパフィアンと呼ぶ。ただし、テンプレート:Math は テンプレート:Math 次の対称群 テンプレート:Math の部分集合で、

$F_{2n}=\{\sigma \in S_{2n}|\sigma (2i-1)<\sigma (2i)(1\le i\le n),\sigma (1)<\sigma (3)\cdots <\sigma (2n-1)\}$

を満たすものとして定義される。現れる項の重複を許すならば、

$\begin{array}{cc}\mathrm{Pf}(A)& =\frac{1}{2^{n}n!}\sum _{\sigma \in S_{2n}}\mathrm{sgn}(\sigma )a_{\sigma (1)\sigma (2)}{a}_{\sigma (3)\sigma (4)}\cdots a_{\sigma (2n-1)\sigma (2n)}\\ & =\frac{1}{n!}\sum _{\sigma \in F_{2^{\prime }n}}\mathrm{sgn}(\sigma )a_{\sigma (1)\sigma (2)}{a}_{\sigma (3)\sigma (4)}\cdots a_{\sigma (2n-1)\sigma (2n)}\end{array}$

という表示も可能である。ただし

$F_{2^{\prime }n}=\{\sigma \in S_{2n}|\sigma (2i-1)<\sigma (2i)(i=1,\cdots ,n)\}$

である。

外積代数による導入

ベクトル空間 テンプレート:Mvar の基底 テンプレート:Math2 を用い、外積代数 テンプレート:Math における2形式

$\omega =\sum _{i<j}{a}_{ij}{e}_i\wedge e_j(a_{ij}=-a_{ji})$

を定義すると、その テンプレート:Mvar 乗の外積は

${\wedge }^n\omega =\omega \wedge \omega \wedge \cdots \wedge \omega =\frac{1}{n!}\mathrm{Pf}(A)e_1\wedge e_2\wedge \cdots \wedge e_{2n}$

であり、自然な形でパフィアンが現れる。

記法

パフィアンを表す記法としては、テンプレート:Math のほかに、行と列の区別を排した

$\mathrm{Pf}(a_1,a_2,\cdots ,a_{2n}),\mathrm{Pf}(1,2,\cdots ,2n)(\mathrm{Pf}(a_i,a_j)=a_{ij})$

といった記法がある。また、スコットランドの数学者テンプレート:仮リンクによって導入された行列式の記法 テンプレート:Math において右上半分だけ表示する、

$\begin{array}{cccc}|a_{12}& a_{13}& \cdots & a_{12n}\\ & a_{23}& \cdots & a_{22n}\\ & & \ddots & ⋮\\ & & & a_{2n-12n}\end{array}|$

も用いられる。

例

便宜上、テンプレート:Math の元である置換 テンプレート:Mvar を順列 テンプレート:Math2 の形で表すこととする。

テンプレート:Math の場合

テンプレート:Math2 のときの テンプレート:Math2 の元は テンプレート:Math2 だけであり、その符号 テンプレート:Math2 は テンプレート:Math であるから、

$\mathrm{Pf}(A)=a_{12}$

となる。

テンプレート:Math の場合

テンプレート:Math の場合は、テンプレート:Math の元は テンプレート:Math2 であり、それぞれの符号 テンプレート:Math は テンプレート:Math2 であるから、

$\mathrm{Pf}(A)=a_{12}{a}_{34}-a_{13}{a}_{24}+a_{14}{a}_{23}$

となる。

性質

基本的な性質

最も基本的な性質は、交代行列 テンプレート:Mvar に対して、その行列式との間に成り立つ関係式

$\det (A)=(\mathrm{Pf}(A){)}^2$

である。また、テンプレート:Math2次交代行列 テンプレート:Mvar, テンプレート:Math2次正方行列 テンプレート:Mvar に対して、

$\mathrm{Pf}({}^{t}BAB)=\det (B)\mathrm{Pf}(A)$

が成り立つ。

また、テンプレート:Mvar次正方行列 テンプレート:Mvar について、

$\mathrm{Pf}\left(\begin{array}{cc}0& B\\ -{}^{t}B& 0\end{array}\right)=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}\det B$.

が成り立つ。

展開公式

テンプレート:Math2次交代行列 テンプレート:Mvar に対し、テンプレート:Mvar から テンプレート:Math2 行、テンプレート:Math2 列を取り除いた テンプレート:Math2次交代行列を テンプレート:Math2 と表すと

$\begin{array}{cc}\mathrm{Pf}(A)& =\sum _{j=1}^{2n}(-1{)}^{i+j+1}{a}_{ij}\mathrm{Pf}(A^{(ij)})\\ & =\sum _{j=1}^{2n}(-1{)}^{i+j+1}\mathrm{Pf}(a_i,a_j)\mathrm{Pf}(a_1,\cdots ,\widehat{a_i},\cdots ,\widehat{a_j},\cdots ,a_{2n})\end{array}$

が成り立つ。ただし、2行目において、テンプレート:Math は、その成分を取り除くことを意味する。これは行列式における余因子展開に相当する。

参考文献

• Thomas Muir (sir.), A treatise on the theory of determinants", Macmillan and Co. (1882)
• Thomas Muir (sir.), The theory of determinants in the historical order of development, Macmillan and Co. (1906)
• Roe Goodman and Nolan R. Wallach, Symmetry, Representations, and Invariants (Graduate Texts in Mathematics) Springer (2009) ISBN 978-0387798516
• 岡田聡一『古典群の表現論と組合せ論〈上〉（数理物理シリーズ）』培風館 (2006) ISBN 978-4563006631
• 広田良吾『直接法によるソリトンの数理』岩波書店(1992) ISBN 978-4000056762
• 高崎金久『線形代数と数え上げ』日本評論社 (2012) ISBN 978-4535786806

関連項目

• 行列式

外部リンク

• テンプレート:高校数学の美しい物語