パリー点のソースを表示


[[幾何学]]において、'''パリー点''' (ぱりーてん、Parry point)とは[[三角形の中心]]の一つである。 クラーク・キンバリングの「[[Encyclopedia of Triangle Centers]]」ではX(111)として登録されている。パリー点及びパリー円は1990年代初期の[[イギリス]]幾何学者[[シリル・パリー]]の研究を賞して名づけられた<ref>{{Cite web |author=Kimberling |first=Clark |title=Parry point |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/parry.html |access-date=29 May 2012}}</ref>。

== パリー円 ==
[[ファイル:Parry_point.svg|サムネイル|275x275ピクセル|
{{Legend-line|solid black|元の三角形{{math|△''ABC''}}}}{{Legend-line|solid orange|{{math|△''ABC''}}の外接円}}{{Legend striped|#e77aff|#6ebeff|[[アポロニウスの円]] ([[等力点]]{{mvar|J, K}}で交わる)}}{{Legend-line|solid red|'''パリー円''' ({{mvar|J, K}} と [[幾何中心|重心]] {{mvar|G}}を通る)}}パリー円と外接円はキーペルト放物線の焦点とパリー点で交わる 。]]
{{Mvar|△ABC}}についてその[[幾何中心|重心]]と二つの[[等力点]]を通る円を'''パリー円'''と言う。パリー円は[[重心座標]][x,y,z]で以下の式で表される<ref name=":0" />。<math display="block">
 3(b^2-c^2)(c^2-a^2)(a^2-b^2)(a^2yz+b^2zx+c^2xy) + (x+y+z)\left( \sum_\text{cyclic} b^2c^2(b^2-c^2)(b^2+c^2-2a^2)x\right) =0
</math>パリー円の中心はEncyclopedia of Triangle CentersでX(351)として表される。X(351)は[[三線座標]]で以下の様に表される。<math display="block">
a(b^2-c^2)(b^2+c^2-2a^2) :  b(c^2-a^2)(c^2+a^2-2b^2) :  c(a^2-b^2)(a^2+b^2-2c^2)
</math>

== パリー点 ==
{{Mvar|△ABC}}のパリー円は[[外接円]]と2点で交わる。うち一つは[[キーペルト円錐曲線#キーペルト放物線|キーペルト放物線]]の焦点である<ref name=":0">{{Cite web |author=Weisstein |first=Eric W |title=Parry Point |url=http://mathworld.wolfram.com/ParryPoint.html |publisher=MathWorld—A Wolfram Web Resource. |access-date=29 May 2012}}</ref>。 もう一つを{{Mvar|△ABC}}の'''パリー点'''という。

パリー点の[[三線座標]]は以下の様に表される。<math display="block">\frac{a}{2a^2-b^2-c^2} : \frac{b}{2b^2-c^2-a^2} : \frac{c}{2c^2-a^2-b^2}</math>キーペルト放物線の焦点X(110)の三線座標は以下の様に表される。<math display="block">\frac{a}{b^2-c^2} : \frac{b}{c^2-a^2} : \frac{c}{a^2-b^2}</math>

== パリー鏡映点 ==
シリル・パリーに関する点の一つに'''パリー鏡映点'''（Parry Reflection Point）がある<ref>{{Cite web |title=Parry Reflection Point |url=https://mathworld.wolfram.com/ParryReflectionPoint.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-04-25 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。{{Mvar|A,B,C}}を通り、[[オイラー線]]に平行な直線をそれぞれ{{Mvar|BC,CA,AB}}で鏡映した直線は一点で交わる。この点をパリー鏡映点X(399)と言う。

=== 特徴 ===

* パリー鏡映点は[[ノイベルグ三次曲線]]、[[フェルマー点#フェルマー点の特徴|フェルマー軸]]上にある。
* 第一等力点{{Mvar|J}}のcirclecevian triangle（{{Mvar|AJ,BJ,CJ}}と円{{Mvar|JBC,JCA,JAB}}の{{Mvar|J}}でない方の交点が成す三角形<ref>{{Cite web |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/CirclecevianPerspector.pdf |title=Vu Thanh Tung |access-date=2024/4/25 |publisher=faculty.evansville.edu}}</ref>）と、第二等力点のcirclecevian triangleの[[配景]]の中心はパリー鏡映点である<ref>{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(399) |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X399 |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-04-25}}</ref>。
* 第一フェルマー点、第二等力点、パリー鏡映点、第二[[フェルマー点#フェルマー点の特徴|ヴェルナウ点]]は[[共円]]である。同様に、第ニフェルマー点、第一等力点、パリー鏡映点、第一ヴェルナウ点は共円である。
* 三角形の鏡映三角形（Reflection triangle,頂点を対辺で鏡映した三角形<ref>{{Cite web |title=Reflection Triangle |url=https://mathworld.wolfram.com/ReflectionTriangle.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-04-25 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>）を{{Mvar|△A'B'C'}}、[[三角形の内接円と傍接円|内心と傍心]]をそれぞれ{{Mvar|I,I<sub>a</sub>,I<sub>b</sub>,I<sub>c</sub>}}とすると、円{{Mvar|IA'I<sub>a</sub>,IB'I<sub>b</sub>,IC'I<sub>c</sub>,A'I<sub>b</sub>I<sub>c</sub>,B'I<sub>c</sub>I<sub>a</sub>,C'I<sub>a</sub>I<sub>b</sub>}}はパリー鏡映点を通る<ref>{{Cite web |url=https://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201018.pdf |title=On the Euler Reflection Point |access-date=2024/4/26 |publisher=Forum Geometricorum}}</ref>。
* 三線座標は、

<math>f(A,B,C)= 5\cos A-4\cos B\cos C-8\sin B\sin C\cos^{2}A</math>

として、

<math>f(A,B,C):f(B,C,A):f(C,A,B)</math>

で表される。

== 関連 ==

* [[レスター円]]
* [[三角形の中心]]

== 脚注 ==
<references responsive="1"></references>
{{Reflist}}{{デフォルトソート:はりいてん}}
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:三角形の中心]]