パレート分布のソースを表示

{{確率分布
|名前 = パレート分布
|型 = 密度
|画像/確率関数 = [[画像:Pareto distributionPDF.png|325px]]<br />{{small|いくつかの {{mvar|α}} に関する確率密度関数。<br />ただし、{{math|''x''{{sub|m}} {{=}} 1}}。水平軸（横軸）が {{mvar|x}} 軸。<br />{{mvar|α}} が {{math|∞}}（無限大）に近づくにつれ、分布は {{math|''δ''(''x'' &minus; ''x''{{sub|m}})}} に近づく。<br />ここで {{mvar|δ}} は [[ディラックのデルタ関数]]。}}
|画像/分布関数 = [[画像:Pareto distributionCDF.png|325px]]<br />{{small|いくつかの{{mvar|α}} に関する累積分布関数。<br />ただし、{{math2|''x''{{sub|m}} {{=}} 1}}。水平軸(横軸)が {{mvar|x}} 軸。}}
|母数 = {{ill|尺度母数|en|Scale parameter}}（[[実数]]）<br /><math>x_\mathrm{m} >0</math><br />{{ill|形状母数|en|Shape parameter}}（実数）<br /><math>\alpha >0</math>
|台 = <math>[x_\mathrm{m} ,\infty )</math>
|確率関数 = {{math2|''x'' > ''x''{{sub|m}}}} のとき<br /><math>\frac{\alpha \, x_\mathrm{m}^\alpha}{x^{\alpha +1}}</math>
|分布関数 = <math>1-\left( \frac{x_\mathrm{m}}{x} \right)^\alpha</math>
|期待値 = {{math2|''α'' > 1}} のとき<br /><math>\frac{\alpha \, x_\mathrm{m}}{\alpha -1}</math>
|中央値 = <math>x_\mathrm{m} \sqrt[\alpha]{2}</math>
|最頻値 = <math>x_\mathrm{m}</math>
|分散 = {{math2|''α'' > 2}} のとき<br /><math>\frac{{x_\mathrm{m}}^2 \alpha}{(\alpha -1)^2(\alpha -2)}</math>
|歪度 = {{math2|''α'' > 3}} のとき<br /><math>\frac{2(1+\alpha )}{\alpha -3} \, \sqrt{\frac{\alpha -2}{\alpha}}</math>
|尖度 = {{math2|''α'' > 4}} のとき<br /><math>\frac{6(\alpha^3 +\alpha^2 -6\alpha -2)}{\alpha (\alpha -3)(\alpha -4)}</math>
|エントロピー = <math>\ln \left( \frac{\alpha}{x_\mathrm{m}} \right) -\frac{1}{\alpha} -1</math>
|モーメント母関数 = {{math2|''t'' < 0}} のとき<br /><math>\alpha (-x_\mathrm{m} t)^\alpha \Gamma (-\alpha ,-x_\mathrm{m} t)</math>
|特性関数 = <math>\alpha (-ix_\mathrm{m} t)^\alpha \Gamma (-\alpha ,-ix_\mathrm{m} t)</math>
|fisher = <math>\begin{pmatrix}
\alpha / {x_m}^2 &1/x_m \\
-1/x_m &1/\alpha^2
\end{pmatrix}</math>
}}
'''パレート分布'''（パレートぶんぷ、{{lang-en-short|Pareto distribution}}）は、イタリアの経済学者[[ヴィルフレド・パレート]]が所得の分布をモデリングする分布として提唱した[[確率分布#確率分布の分類|連続型]]の[[確率分布]]である。離散型は{{ill|ゼータ分布|en|Zeta distribution}}（[[ジップの法則|ジップ分布]]）である。

== 定義と性質 ==
{{math2|''a'', ''b'' (''a'' > 0, ''b'' > 0)}} をパラメータ、実数 {{math2|''x'' (''x'' ≥ ''b'')}} を確率変数とするときのパレート分布の[[確率密度関数]]は以下の式で定義される。（注：右InfoBoxでは {{math2|''α'' {{=}} ''a'', ''X''{{sub|m}} {{=}} ''b''}}）
:<math>\frac{a/b}{(x/b)^{a+1}}</math>
このとき、期待値は <math>\frac{ab}{a-1} \mbox{ for } a>1</math>、分散は <math>\frac{ab^2}{(a-1)^2 (a-2)}\mbox{ for } a>2</math> である。
{{-}}

== 一般化パレート分布 ==
{{確率分布
|名前 = 一般化パレート分布
|型 = 密度
|画像/確率関数 =
|画像/分布関数 =
|母数 = 位置母数（[[実数]]）<br /><math>\mu \in (-\infty ,\infty )</math><br />尺度母数（実数）<br /><math>\sigma \in (0,\infty )</math><br />{{ill|形状母数|en|Shape parameter}}（実数）<br /><math>\xi \in (-\infty ,\infty )</math>
|台 = （{{math2|''ξ'' ≥ 0}} のとき）{{math2|''μ'' ≤ ''x''}}<br />（{{math2|''ξ'' < 0}} のとき）{{math2|''μ'' ≤ ''x'' ≤ ''μ'' &minus; {{sfrac|''σ''|''ξ''}}}}
|確率関数 = <math>\frac{1}{\sigma} (1+\xi \frac{x-\mu}{\sigma} )^{-(1/\xi +1)}</math>
|分布関数 = <math>1-(1+\xi z)^{-1/\xi}</math>
|期待値 = （{{math2|''ξ'' < 1}} のとき）<br /><math>\mu +\frac{\sigma}{1-\xi}</math>
|中央値 = <math>\mu +\frac{\sigma( 2^{\xi} -1)}{\xi}</math>
|最頻値 =
|分散 = （{{math2|''ξ'' < {{sfrac|1|2}}}} のとき）<br /><math>\frac{\sigma^2}{(1-\xi )^2(1-2\xi )}</math>
|歪度 =
|尖度 =
|エントロピー =
|モーメント母関数 =
|特性関数 =
}}
一般化パレート分布（{{lang-en-short|generalized Pareto distributions, GPD}}) は、確率変数 {{mvar|X}} がある閾値を超える確率 {{math|''P''(''X'' > ''a'')}} を推定する場合のモデルとして使用される。例えば、風速、洪水、震度などが一定値以上となる確率のモデル化などに適用される。この分布は 位置母数 {{mvar|μ}}、尺度母数 {{mvar|σ}}、形状母数 {{mvar|ξ}} の3つのパラメータをもち、{{mvar|ξ}} をパレート指数と言う。

[[累積分布関数]]は次式で表される。

（ただし、形状パラメータを {{math2|''κ'' {{=}} &minus;''ξ''}} とする書物もある。）
:<math>F_{(\xi ,\mu ,\sigma )} (x)=1-\left( 1+\frac{\xi (x-\mu )}{\sigma} \right)^{-1/\xi}</math>
[[関数の台|台]]は指数部 <math>1+\frac{\xi (x-\mu )}{\sigma} \geq 0</math> にて制限される。

[[確率密度関数]]は
:<math>f_{(\xi,\mu,\sigma)} (x)=\frac{1}{\sigma} \left( 1+\frac{\xi (x-\mu)}{\sigma} \right)^{(-1/\xi -1)}</math>

=== 分類 ===
一般化パレート分布 (GPD) は、一般化[[極値分布]] (GEV) と同様3種類に分類される。
* {{math2|''ξ'' > 0}} のとき、パレート分布
* {{math2|''ξ'' {{=}} 0}} のとき、指数分布
: <math>\begin{align}
F_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x) &=1-\exp \left( -\frac{(x-\mu )}{\sigma} \right) \\
f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x) &=\frac{1}{\sigma} \exp \left( -\frac{(x-\mu )}{\sigma} \right)
\end{align}</math>
* {{math2|''ξ'' < 0}} のとき、タイプ2 パレート分布

== 参考文献 ==
* 蓑谷千凰彦、統計分布ハンドブック、朝倉書店 (2003).
* B. S. Everitt（清水良一訳）、統計科学辞典、朝倉書店 (2002).

== 関連項目 ==
* [[確率分布]]
* [[冪乗則]]

== 外部リンク ==
* [http://ibisforest.org/index.php?Pareto分布 朱鷺の杜Wiki]
* [http://www.cbrc.jp/%7Etominaga/translations/gsl/ GSL reference manual Japanese version]

{{確率分布の一覧}}
{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:はれとふんふ}}
[[Category:確率分布]]
[[Category:社会経済学]]
[[Category:冪乗則]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]