パレート分布

テンプレート:確率分布 パレート分布（パレートぶんぷ、テンプレート:Lang-en-short）は、イタリアの経済学者ヴィルフレド・パレートが所得の分布をモデリングする分布として提唱した連続型の確率分布である。離散型はテンプレート:Ill（ジップ分布）である。

定義と性質

テンプレート:Math2 をパラメータ、実数テンプレート:Math2 を確率変数とするときのパレート分布の確率密度関数は以下の式で定義される。（注：右InfoBoxではテンプレート:Math2）

\frac{a / b}{(x / b)^{a + 1}}

このとき、期待値は $\frac{a b}{a - 1} for a > 1$ 、分散は $\frac{a b^{2}}{(a - 1)^{2} (a - 2)} for a > 2$ である。テンプレート:-

テンプレート:確率分布一般化パレート分布（テンプレート:Lang-en-short) は、確率変数テンプレート:Mvar がある閾値を超える確率テンプレート:Math を推定する場合のモデルとして使用される。例えば、風速、洪水、震度などが一定値以上となる確率のモデル化などに適用される。この分布は位置母数テンプレート:Mvar、尺度母数テンプレート:Mvar、形状母数テンプレート:Mvar の3つのパラメータをもち、テンプレート:Mvar をパレート指数と言う。

累積分布関数は次式で表される。

（ただし、形状パラメータをテンプレート:Math2 とする書物もある。）

F_{(ξ, μ, σ)} (x) = 1 - {(1 + \frac{ξ (x - μ)}{σ})}^{- 1 / ξ}

台は指数部 $1 + \frac{ξ (x - μ)}{σ} \geq 0$ にて制限される。

f_{(ξ, μ, σ)} (x) = \frac{1}{σ} {(1 + \frac{ξ (x - μ)}{σ})}^{(- 1 / ξ - 1)}

一般化パレート分布 (GPD) は、一般化極値分布 (GEV) と同様3種類に分類される。

\begin{matrix} F_{(ξ, μ, σ)} (x) & = 1 - \exp (- \frac{(x - μ)}{σ}) \\ f_{(ξ, μ, σ)} (x) & = \frac{1}{σ} \exp (- \frac{(x - μ)}{σ}) \end{matrix}