パンシェルル微分のソースを表示

{{unreferenced|date=May 2014}}

[[数学]]における'''パンシェルル微分'''（パンシェルルびぶん、{{Lang-en-short|Pincherle derivative}}）は[[多項式環]]上の[[線型作用素]]に対し、それと不定元による乗算作用素との[[交換子]]をとることによって与えられる新たな線型作用素である。この概念はイタリアの数学者{{仮リンク|サルヴァトーレ・パンシェルル|en|Salvatore Pincherle}}（1853&ndash;1936）の名にちなむ。

== 定義 ==
{{math|'''K'''[''x'']}} は[[可換体|体]] {{math|'''K'''}} 上の変数 {{mvar|x}} に関する[[多項式]]全体の成す[[ベクトル空間]]とし、
: <math>\tilde{x}\colon \mathbb{K}[x] \to \mathbb{K}[x]; p=\{p(x)\} \mapsto \tilde{x}p=\{xp(x)\}</math>
は {{mvar|x}} による掛け算を行う作用素とする。

{{math|'''K'''[''x'']}} 上の[[線形作用素]] {{math|''T'':'''K'''[''x''] → '''K'''[''x'']}} の'''パンシェルル微分''' {{mvar|T’}} は、[[自己準同型環]] {{math|End('''K'''[''x''])}} における {{mvar|x}} の乗算作用素と ''T'' との[[交換子]]

:<math> T' := [T,\tilde{x}] = T\circ\tilde{x}-\tilde{x}\circ T = -\operatorname{ad}(x)T,</math>

すなわち任意の {{math|''p''(''x'') &isin; '''K'''[''x'']}} に対し

:<math> T'\{p(x)\}=T\{xp(x)\}-xT\{p(x)\}</math>

を満たす線型自己準同型作用素である。

== 性質 ==
任意の[[交換子]]がそうであるように、パンシェルル微分 {{math|&prime;}} は自己準同型環 {{math|End('''K'''[''x''])}} 上の{{仮リンク|微分子 (微分環)|label=微分子|en|Derivation (differential algebra)}}（導分）である。すなわち、自己準同型環 {{math|End('''K'''[''x''])}} に属する任意の二つの[[線形作用素]] {{mvar|S, T}} に対し、

*（和の法則） <math>(T + S)^\prime = T^\prime + S^\prime;</math>
*（[[ライプニッツ則|積の法則]]）<math> (TS)^\prime = T^\prime S + TS^\prime</math>

を満たす（ただし、積 {{math|''TS'' :{{=}} ''T'' ∘ ''S''}} は[[写像の合成]]によって定める）。また {{math|[''T'', ''S''] :{{=}} ''TS'' &minus; ''ST''}} を通常の[[リー環|リーブラケット]]として、[[ヤコビ恒等式]]より 
* <math>[T,S]^\prime = [T^\prime , S] + [T, S^\prime ]</math>

が成立する。

通常の微分 {{math|''D''&nbsp;{{=}}&nbsp;''d''/''dx''}} は多項式に対する作用素と見なせる。直接的な計算により、そのパンシェルル微分は {{math|''D''&prime; {{=}} id{{sub|'''K'''[''x'']}} {{=}} 1}}（右辺の {{math|1}} は {{math|1}} 倍する乗算作用素）となり、[[数学的帰納法]]により

: <math> (D^n)'= \left({{d^n} \over {dx^n}}\right)' = nD^{n-1}</math>

に一般化できる。このことから、[[微分作用素]] {{math|&part; {{=}} &sum;&thinsp;''a''{{sub|''n''}}''D''{{sup|''n''}}}} のパンシュレル微分

: <math> \partial' = \sum n a_n {{d^{n-1}} \over {dx^{n-1}} } = \sum n a_n D^{n-1} </math>

もまた微分作用素であることが分かり、したがってパンシェルル微分は微分作用素全体の成す環 {{math|diff('''K'''[''x''])}} 上の微分子になる。

シフト作用素 {{math|''S''{{sub|''h''}}(''f'')(''x'') {{=}} ''f''(''x'' + ''h'')}} は[[テイラー展開]]

: <math> S_h = \sum_{n=0} {{h^n} \over {n!} }D^n </math>

を考えることにより、そのパンシェルル微分

: <math> S_h' = \sum_{n=1} {{h^n} \over {(n-1)!} }D^{n-1} = h \cdot S_h </math>

を得る。すなわち、シフト作用素はパンシェルル微分の[[固有ベクトル]]であり、対応するスペクトルはスカラーの空間全体 {{math|'''K'''}} である。

{{mvar|T}} が[[デルタ作用素|シフト同変]]、すなわち {{mvar|T}} が {{math|''S''<sub>''h''</sub>}} と可換（{{math|[''T'',&thinsp;''S''{{sub|''h''}}] {{=}} 0}}）ならば {{math|[''T''&prime;, ''S''{{sub|''h''}}] {{=}} 0}} となり、{{mvar|T'}} もまた同じシフト {{mvar|h}} に対してシフト同変であることが分かる。

離散時間デルタ作用素 {{math|&delta;''f''(''x'') {{=}} {{fraction|''f''(''x''+''h'')&minus;''f''(''x'')|''h''}}}} は、作用素として

: <math> \delta = {1 \over h} (S_h - 1)</math>

と書ける（積の順番に注意）から、そのパンシェルル微分 {{math|&delta;&prime; {{=}} ''S''{{sub|''h''}}}} はシフト作用素である。

== 関連項目 ==
* [[交換子]]
* [[デルタ作用素]]
* [[陰計算]]

== 外部リンク ==
*Weisstein, Eric W. "''[http://mathworld.wolfram.com/PincherleDerivative.html Pincherle Derivative]''". From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
*''[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Pincherle.html Biography of Salvatore Pincherle]'' at the [[MacTutor History of Mathematics archive]].

{{DEFAULTSORT:はんしえるるひふん}}
[[Category:微分法]]
[[Category:微分環]]
[[Category:作用素環論]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]