ヒルベルト変換のソースを表示

[[数学]]および[[信号処理]]における'''ヒルベルト変換'''（ヒルベルトへんかん、{{lang-en-short|''Hilbert  transform''}}）は、実変数関数 {{math|''u''(''t'')}} を別の実変数関数 {{math|''H''(''u'')(''t'')}} へ写すある特定の[[線型作用素]]を言う。具体的にこの作用素は {{math|{{fraction|1|''πt''}}}} との[[畳み込み]]:
<math display="block">H(u)(t) := \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{u(\tau)}{t-\tau}\,d\tau := H(\delta)(t)*u(t)=\delta(jt)* u(t)</math>
で与えられる。ただし、現れる[[広義積分]]は[[コーシー主値]]の意味でとる。このヒルベルト変換は[[周波数領域]]において特に単純な表現 &mdash;引数となる函数の各フーリエ成分に {{math|''π''/2}}(90°) の位相ずれ (phase shift) を生じさせる&mdash; を持つ。例えば、余弦函数 {{math|cos(''ωt'') (''ω'' > 0)}} のヒルベルト変換は {{math|cos(''ωt'' &minus; ''π''/2)}} となる。

信号処理におけるヒルベルト変換は、それが実数値信号 {{math|''u''(''t'')}} の{{ill2|解析的信号|en|Analytic signal|label=解析的表現}}を導くという点において重要である。具体的に、{{mvar|u}} のヒルベルト変換を {{mvar|v}} とすれば、{{mvar|v}} は {{mvar|u}} の{{ill2|調和共軛|en|harmonic conjugate}}となる。すなわち、{{mvar|v}} は実変数 {{mvar|t}} の函数であって、複素数値函数 {{math|''u''+i''v''}} が[[コーシー&ndash;リーマン方程式]]を満足するように複素[[上半平面]]まで延長可能となる。この設定でヒルベルト変換を最初に導入したのは[[ダフィット・ヒルベルト]]で、解析函数に対する{{ill2|リーマン&ndash;ヒルベルト問題|en|Riemann–Hilbert problem}}の特別の場合を解決するためであった。

== 導入 ==
{{mvar|u}} のヒルベルト変換は {{math|''u''(''t'')}} と{{ill2|コーシー核|en|Cauchy kernel}}と呼ばれる函数 {{math|''h''(''t'') {{coloneqq}} 1/''πt''}} との[[畳み込み]]と考えることができる。{{math|''h''(''t'')}} は[[可積分]]でないから畳み込みの定義積分は収束しないが、代わりに[[コーシー主値]]（ここでは {{math|p.v.}} と書く）を用いることでヒルベルト変換は定義される。陽に書けば、函数（あるいは信号）{{math|''u''(''t'')}} のヒルベルト変換は <math display="block">H(u)(t) := \frac{1}{\pi} \operatorname{\text{p.v.}\!\!} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{u(\tau)}{t-\tau}\, d\tau</math> で&mdash;上記の積分が主値の意味で存在する限りにおいて&mdash;定義される。これはちょうど、{{mvar|u}} と[[緩増加超函数]] {{math|p.v.&thinsp;1/''πt''}} との畳み込みになっている{{efn2| {{harvtxt|Schwartz|1950}} による{{sfn|Pandey|1996|loc=Chapter 3}}。}}。あるいはまた、変数変換を施すことにより、上記の主値積分を <math display="block">H(u)(t) = \frac{2}{\pi}\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{\varepsilon}^\infty \frac{u(t + \tau) - u(t - \tau)}{ 2 \tau}\,d\tau</math> と明示的に書くことができる{{sfn|Zygmund|1968|loc=§XVI.1}}。

函数 {{mvar|u}} にヒルベルト変換 {{mvar|H}} を続けて二回施すとき、定義に現れる二度の積分が適当な意味で収束する限りにおいて、得られる結果は {{mvar|u}} の符号反転: <math display="block">H(H(u))(t) = -u(t)</math> である。特に、{{mvar|H}} の逆変換は {{math|&minus;''H''}} になる。この事実を確認するには、{{mvar|u}} のフーリエ変換のもとでのヒルベルト変換の振る舞い（後述）を見ることがもっとも簡便である。

[[上半平面]]上の[[解析函数]]に対し、ヒルベルト変換は境界値の実部と虚部との間の関係を記述する。つまり、複素函数 {{math|''f''(''z'')}} が平面 {{math|ℑm&thinsp;''z'' > 0}} 上で解析的かつ {{math|''u''(''t'') {{coloneqq}} ℜe&thinsp;''f''(''t'' + 0&sdot;''i'')}} と書くとき、{{mvar|u}} のヒルベルト変換が存在する限りにおいて {{math|ℑm&thinsp;''f''(''t'' + 0&sdot;''i'') {{=}} ''H''(''u'')(''t'')}} が定数を加える[[違いを除いて]]成立する。

=== 記法について ===
[[信号処理]]において、{{math|''u''(''t'')}} のヒルベルト変換は一般的に {{math|{{hat|''u''}}(''t'')}} と書かれる<ref>例えば {{harvnb|Brandwood|2003|p=87}}</ref>。しかし、数学においてこの記法は、広く一般に {{math|''u''(''t'')}} のフーリエ変換を表すものとして既に用いられている<ref>例えば {{harvnb|Stein|Weiss|1971}}</ref>。稀に、ヒルベルト変換が {{math|{{tilde|''u''}}(''t'')}} と書かれているかもしれない。さらにいえば、本項で定義したのとは符号が逆のものをヒルベルト変換と定義する文献も多い<ref>例えば {{harvnb|Bracewell|2000|p=359}}</ref>。

== フーリエ変換との関係 ==
ヒルベルト変換は{{ill2|フーリエ乗算作用素|en|Multiplier (Fourier analysis)}}（すなわち、フーリエ変換のもと定数を乗じる操作として働く作用素）である{{sfn|Duoandikoetxea|2000|loc=Chapter 3}}。その乗率は、[[符号函数]] {{math|sgn}} を用いて {{math|''σ{{sub|H}}''(''ω'') {{coloneqq}} &minus;''i'' sgn(''ω'')}} で与えられる。すなわち、フーリエ変換を {{mathcal|F}} と書くとき <math display="block">\mathcal{F}(H(u))(\omega) = (-i\sgn(\omega)) \cdot \mathcal{F}(u)(\omega)</math> が成り立つ。フーリエ変換 {{mathcal|F}} は、&mdash;適当な定数を掛けるだけの違いだが&mdash; 異なる定義がよくもちいられるものでも三種類あるが、符号函数は引数を正数倍しても変わらず {{math|sgn(''x'') {{=}} sgn(2''πx'')}} が成り立つから、上記の結果はどの定義のフーリエ変換でも変わらず適用できる。

[[オイラーの公式]]を適用すれば、<math display="block">\sigma_H(\omega) = \begin{cases}
   i = e^{+i\pi/2}, & \text{for } \omega < 0\\
                 0, & \text{for } \omega = 0\\
  -i = e^{-i\pi/2}, & \text{for } \omega > 0
\end{cases}</math> と書けるから、したがって {{math|''H''(''u'')(''t'')}} は {{math|''u''(''t'')}} の{{ill2|負の周波数|en|negative frequency}}成分に {{math|+90°}} ({{math|{{pi}}/2}} rad) および正の周波数成分に {{math|&minus;90°}} の位相ずらし (phase shft) を引き起こす。また {{math|''i&sdot;H''(''u'')(''t'')}} は正の周波数成分をそのままに、負の周波数成分をさらに {{math|+90°}}（計 {{math|+180°}} のずれ、つまり符号反転）を引き起こす。

ヒルベルト変換を二回反復適用するとき、{{mvar|u}} の負および正の周波数成分は、それぞれ {{math|+180°}} および {{math|−180°}} ずれて、これらのずれは一致する。よって、信号自体は符号が反転する: {{math|''H''(''H''(''u'')) {{=}} &minus;''u''}}。これは <math display="block">(\sigma_H(\omega))^2 = e^{\pm i\pi} = -1 \qquad \text{for } \omega \neq 0</math> による。

== ヒルベルト変換表 ==
次の表では、[[周波数]]パラメータ<math>\omega</math>は実数である。

{| class="wikitable" style="margin: 1ex auto;"
|-
! 信号<math display="block">u(t)</math> !! ヒルベルト変換<ref group="fn">文献によっては（例えば {{harvnb|Bracewell}}{{full|date=2018年9月}}）、本項で言うと {{math|&minus;''H''}} にあたるものをヒルベルト順変換の定義とするものもある。その場合には、一覧表の右列はすべて符号が逆になる。</ref><math display="block">H(u)(t)</math>
|-
| '''正弦'''<ref group="fn" name="ex02">{{math|sin}} と {{math|cos}} のヒルベルト変換は無限遠点において積分の主値をとることで定義することができる（シュヴァルツ超函数の意味で定義したものとも一致する）。</ref><math display="block">\sin(\omega t)</math> || <math display="block">\sgn(\omega)\sin\left(\omega t-\tfrac{\pi}{2}\right)=-\sgn(\omega)\cos(\omega t)</math>
|-
| '''余弦'''<ref group="fn" name="ex02"/><math display="block">\cos(\omega t)</math> || <math display="block">\sgn(\omega)\cos\left(\omega t-\tfrac{\pi}{2}\right)=\sgn(\omega)\sin(\omega t) </math>
|-
| <math display="block"> e^{i \omega t} </math> || <math display="block"> \sgn(\omega) e^{i\left(\omega t - \tfrac{\pi}{2}\right)} = -i\cdot \sgn(\omega)e^{i\omega t}</math>
|-
| <math display="block">1\over t^2+1</math> || <math display="block">t\over t^2+1</math>
|-
| <math display="block">e^{-t^2}</math> || <math display="block">2\pi^{-1/2}F(t)</math>({{ill|ドーソン積分|en|Dawson function}}を参照)
|-
| '''[[sinc関数]]''' <math display="block">\sin(t)\over t</math> || <math display="block">1-\cos(t)\over t</math>
|-
| '''[[矩形関数]]''' <math display="block">\sqcap(t)</math> || <math display="block">{1\over\pi}\ln\left\vert{t+{1\over 2}\over t-{1\over 2}}\right\vert</math>
|-
| '''[[ディラックのデルタ関数]]''' <math display="block">\delta(t)</math> || <math display="block">1\over\pi t</math>
|-
| '''[[特性関数]]''' <math display="block">\chi_{[a,b]}(t)</math> ||<math display="block">\frac{1}{\pi}\ln\left\vert\frac{t-a}{t-b}\right\vert</math>
|-
| colspan="2" style="font-size: smaller; background-color: lightgray; width: 300px;"|
; Note
<references group="fn" />
|}

幅広いヒルベルト変換の一覧表が利用可能 ({{harvnb|King|2009b}}). 定数のヒルベルト変換は {{math|0}} となることに注意。

== 注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{notelist2}}
=== 出典 ===
{{reflist}}

== 参考文献 ==
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* {{citation |title = Trigonometric series |first = Antoni |last = Zygmund |authorlink = Antoni Zygmund |publisher = Cambridge University Press |year = 1968 |publication-date = 1988 |isbn = 978-0-521-35885-9 |edition = 2nd }}.

==関連項目==
*{{仮リンク|離散ヒルベルト変換|en|Discrete Hilbert transform}}

==外部リンク==
{{commonscat}}
* [https://arxiv.org/abs/0909.1426 Derivation of the boundedness of the Hilbert transform]
* [http://mathworld.wolfram.com/HilbertTransform.html Mathworld Hilbert transform] — Contains a table of transforms
* [https://web.archive.org/web/20090226231356/http://ccrma-www.stanford.edu/~jos/r320/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html Analytic Signals and Hilbert Transform Filters]
* {{mathworld |title = Titchmarsh theorem |urlname = TitchmarshTheorem}}

{{DEFAULTSORT:ひるへるとへんかん}}
[[Category:調和関数]]
[[Category:積分変換]]
[[Category:信号処理]]
[[Category:ダフィット・ヒルベルト]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]