ヒルベルト変換

数学および信号処理におけるヒルベルト変換（ヒルベルトへんかん、テンプレート:Lang-en-short）は、実変数関数テンプレート:Math を別の実変数関数テンプレート:Math へ写すある特定の線型作用素を言う。具体的にこの作用素はテンプレート:Math との畳み込み: $H (u) (t) : = \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{u (τ)}{t - τ} d τ : = H (δ) (t) * u (t) = δ (j t) * u (t)$ で与えられる。ただし、現れる広義積分はコーシー主値の意味でとる。このヒルベルト変換は周波数領域において特に単純な表現 —引数となる函数の各フーリエ成分にテンプレート:Math(90°) の位相ずれ (phase shift) を生じさせる— を持つ。例えば、余弦函数テンプレート:Math のヒルベルト変換はテンプレート:Math となる。

信号処理におけるヒルベルト変換は、それが実数値信号テンプレート:Math のテンプレート:Ill2を導くという点において重要である。具体的に、テンプレート:Mvar のヒルベルト変換をテンプレート:Mvar とすれば、テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar のテンプレート:Ill2となる。すなわち、テンプレート:Mvar は実変数テンプレート:Mvar の函数であって、複素数値函数テンプレート:Math がコーシー–リーマン方程式を満足するように複素上半平面まで延長可能となる。この設定でヒルベルト変換を最初に導入したのはダフィット・ヒルベルトで、解析函数に対するテンプレート:Ill2の特別の場合を解決するためであった。

導入

テンプレート:Mvar のヒルベルト変換はテンプレート:Math とテンプレート:Ill2と呼ばれる函数テンプレート:Math との畳み込みと考えることができる。テンプレート:Math は可積分でないから畳み込みの定義積分は収束しないが、代わりにコーシー主値（ここではテンプレート:Math と書く）を用いることでヒルベルト変換は定義される。陽に書けば、函数（あるいは信号）テンプレート:Math のヒルベルト変換は $H (u) (t) : = \frac{1}{π} p.v. \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{u (τ)}{t - τ} d τ$ で—上記の積分が主値の意味で存在する限りにおいて—定義される。これはちょうど、テンプレート:Mvar と緩増加超函数テンプレート:Math との畳み込みになっているテンプレート:Efn2。あるいはまた、変数変換を施すことにより、上記の主値積分を $H (u) (t) = \frac{2}{π} \lim_{ε \to 0} \int_{ε}^{\infty} \frac{u (t + τ) - u (t - τ)}{2 τ} d τ$ と明示的に書くことができるテンプレート:Sfn。

函数テンプレート:Mvar にヒルベルト変換テンプレート:Mvar を続けて二回施すとき、定義に現れる二度の積分が適当な意味で収束する限りにおいて、得られる結果はテンプレート:Mvar の符号反転: $H (H (u)) (t) = - u (t)$ である。特に、テンプレート:Mvar の逆変換はテンプレート:Math になる。この事実を確認するには、テンプレート:Mvar のフーリエ変換のもとでのヒルベルト変換の振る舞い（後述）を見ることがもっとも簡便である。

上半平面上の解析函数に対し、ヒルベルト変換は境界値の実部と虚部との間の関係を記述する。つまり、複素函数テンプレート:Math が平面テンプレート:Math 上で解析的かつテンプレート:Math と書くとき、テンプレート:Mvar のヒルベルト変換が存在する限りにおいてテンプレート:Math が定数を加える違いを除いて成立する。

記法について

信号処理において、テンプレート:Math のヒルベルト変換は一般的にテンプレート:Math と書かれる^[1]。しかし、数学においてこの記法は、広く一般にテンプレート:Math のフーリエ変換を表すものとして既に用いられている^[2]。稀に、ヒルベルト変換がテンプレート:Math と書かれているかもしれない。さらにいえば、本項で定義したのとは符号が逆のものをヒルベルト変換と定義する文献も多い^[3]。

フーリエ変換との関係

ヒルベルト変換はテンプレート:Ill2（すなわち、フーリエ変換のもと定数を乗じる操作として働く作用素）であるテンプレート:Sfn。その乗率は、符号函数テンプレート:Math を用いてテンプレート:Math で与えられる。すなわち、フーリエ変換をテンプレート:Mathcal と書くとき $ℱ (H (u)) (ω) = (- i sgn (ω)) \cdot ℱ (u) (ω)$ が成り立つ。フーリエ変換テンプレート:Mathcal は、—適当な定数を掛けるだけの違いだが— 異なる定義がよくもちいられるものでも三種類あるが、符号函数は引数を正数倍しても変わらずテンプレート:Math が成り立つから、上記の結果はどの定義のフーリエ変換でも変わらず適用できる。

オイラーの公式を適用すれば、 $σ_{H} (ω) = {\begin{matrix} i = e^{+ i π / 2}, & for ω < 0 \\ 0, & for ω = 0 \\ - i = e^{- i π / 2}, & for ω > 0 \end{matrix}$ と書けるから、したがってテンプレート:Math はテンプレート:Math のテンプレート:Ill2成分にテンプレート:Math (テンプレート:Math rad) および正の周波数成分にテンプレート:Math の位相ずらし (phase shft) を引き起こす。またテンプレート:Math は正の周波数成分をそのままに、負の周波数成分をさらにテンプレート:Math（計テンプレート:Math のずれ、つまり符号反転）を引き起こす。

ヒルベルト変換を二回反復適用するとき、テンプレート:Mvar の負および正の周波数成分は、それぞれテンプレート:Math およびテンプレート:Math ずれて、これらのずれは一致する。よって、信号自体は符号が反転する: テンプレート:Math。これは $(σ_{H} (ω))^{2} = e^{\pm i π} = - 1 for ω \neq 0$ による。