ヒーグナー点のソースを表示

[[数学]]において、'''ヒーグナー点'''('''ヘーグナー点''')（{{lang-en-short|Heegner point}}）とは、[[モジュラー曲線]]上の点であって、[[上半平面]]の quadratic imaginary point の像となっているようなものである。[[ブライアン・バーチ]] (Bryan Birch) により定義され、{{仮リンク|クルト・ヘーグナー|en|Kurt Heegner}} (Kurt Heegner) に因んで名づけられた。ヒーグナーは類数 1 の虚[[二次体]]上の[[類数問題|ガウスの予想]]を証明するために類似のアイデアを用いた。

'''グロス・ザギエの定理''' {{harv|Gross|Zagier|1986}} は、点 ''s'' = 1 における楕円曲線の[[L関数]]の微分のことばでヒーグナー点の[[ネロン・テイトの高さ|高さ]]を記述する。とくに楕円曲線の（解析的）階数が 1 であればヒーグナー点は無限位数（したがって{{仮リンク|モーデル・ヴェイユ群|en|Mordell–Weil group}}の階数は1以上）の曲線上の有理点を構成するのに使うことができる。より一般に、{{harvtxt|Gross|Kohnen|Zagier|1987}} は、ヒーグナー点は各正整数 ''n'' に対し曲線上の[[有理点]]を構成するのに使うことができこれらの点の高さはウェイト 3/2 のモジュラー形式の係数であることを示した。

{{仮リンク|コリヴァギン|en|Kolyvagin}}は後に{{仮リンク|オイラー系|en|Euler system}}を構成するためにヒーグナー点を用い、それによって階数 1 の楕円曲線に対する[[バーチ・スウィンナートン＝ダイヤー予想]]の多くを証明した。{{仮リンク|张寿武|en|Shouwu Zhang}}はグロス・ザキエの定理を楕円曲線からモジュラー[[アーベル多様体]]の場合へと一般化した。ブラウンは正標数の大域体上の階数 1 の楕円曲線の多くに対してバーチ・スウィンナートン＝ダイヤー予想を証明した {{harv|Brown|1994}}。

ヒーグナー点は階数 1 の楕円曲線上の、単純な方法では見つけることのできなかった、非常に大きい有理点を計算するのに使うことができる（サーベイは {{harv|Watkins|2006}} を参照）。アルゴリズムの実装は、[[Magma (数式処理システム)|Magma]]や[[PARI/GP]]で可能である。

== 定義 ==

{{mvar|N}} を正整数、{{math|''X''{{sub|0}}(''N'')}}
を[[楕円曲線]] {{mvar|E}} とその位数 {{mvar|N}} の巡回部分群{{Sfn|佐久川|2003|p=51}} {{mvar|C}} の組 {{math|(''E'', ''C'')}} の[[モジュライ空間]]である[[有理数体]] {{math|'''Q'''}} 上の[[モジュラー曲線]]（のコンパクト化）とする{{Sfn|Gross|1991|p=235}}。

{{math|''X''{{sub|0}}(''N'')('''C''')}}
の点
{{math|1=''x''=(''E'', ''C'')}}（{{mvar|E}} は楕円曲線、{{mvar|C}} は位数 {{mvar|N}} の巡回部分群）が、{{mvar|E}} と {{math|''E''/''C''}}
がともにある[[虚二次体]] {{mvar|K}} の整数環 {{math|𝒪{{sub|''K''}}}} に[[虚数乗法]]を持つとき、この点 {{mvar|x}} を {{math|𝒪{{sub|''K''}}}} にCMを持つ'''ヒーグナー点'''という{{Sfn|片岡|2003|p=208}}。また、{{math|''D{{sub|K}}''}} を {{mvar|K}} の判別式とするとき、この点 {{mvar|x}} のことを判別式 {{math|''D{{sub|K}}''}} のヒーグナー点ともいう。{{mvar|N}} と虚二次体 {{mvar|K}} がヒーグナー条件と呼ばれる条件

: {{mvar|N}} の任意の素因子は {{mvar|K}} で分解する

を満たすときに判別式 {{math|''D{{sub|K}}''}} のヒーグナー点は存在する。{{math|''H{{sub|K}}''}} を {{mvar|K}} の[[ヒルベルト類体]]とするとき、[[虚数乗法論]]よりヒーグナー点は
{{math|''X''{{sub|0}}(''N'')(''H{{sub|K}}'')}}
に入る。また、{{math|''ν''(''N'')}} を {{mvar|N}} の素因子の個数、{{math|''h{{sub|K}}''}} を {{mvar|K}} の[[類数]]とするとき、判別式 {{math|''D{{sub|K}}''}} のヒーグナー点はちょうど
{{math|2{{sup|''ν''(''N'')}}''h{{sub|K}}''}}
個だけ存在する。

ヒーグナー点 {{mvar|x}} から定まる次の点もヒーグナー点と言われる{{Sfn|片岡|2003|p=209}}。

* {{math|''J''{{sub|0}}(''N'')}} を {{math|''X''{{sub|0}}(''N'')}} の[[ヤコビ多様体]]とする。自然な射<br />{{pad}}<math>
X_0(N) \ni x \mapsto [x] - [\infty] \in J_0(N)
</math><br /> によるヒーグナー点の[[像 (数学)|像]]もヒーグナー点という。
* {{mvar|f}} をレベル {{math|''Γ''{{sub|0}}(''N'')}} 重さ2のヘッケ固有{{仮リンク|新形式|en|newform}}、{{math|''A{{sub|f}}''}} を {{mvar|f}} に付随する[[アーベル多様体]]とする。自然な射 {{math|''J''{{sub|0}}(''N'') → ''A{{sub|f}}''}} によるヒーグナー点の像もヒーグナー点という。さらに、トレース写像 {{math|Tr{{sub|''H{{sub|K}}''/''K''}}: ''A{{sub|f}}''(''H{{sub|K}}'') → ''A{{sub|f}}''(''K'')}} によるヒーグナー点の像もヒーグナー点という。

== 出典 ==
{{reflist|2}}

==参考文献==
* {{Citation|和書
| contribution =  {{math|'''Q'''}} 上のモジュラー曲線
| author = 佐久川憲児
| title = [https://sites.google.com/view/ntss2021/ モジュラー曲線と数論]
| url = https://drive.google.com/file/d/13MC6W5cFUnxzHnWZ8pZRgpcetRQZYgK1/view
| ncid = BD01010934
| format=PDF
| year=2023
| series=整数論サマースクール報告集
| volume=28
| ref = {{SfnRef|佐久川|2003}}
}}
* {{Citation|和書
| contribution = Gross–Zagier と Kolyvagin の定理および J0(p) の winding 商
| author = 片岡武典
| title = [https://sites.google.com/view/ntss2021/ モジュラー曲線と数論]
| url = https://drive.google.com/file/d/1_AGRGR0_UlI2IUCnQaX66Y9Kvv-nDPVi/view
| ncid = BD01010934
| format=PDF
| year=2023
| series=整数論サマースクール報告集
| volume=28
| ref = {{SfnRef|片岡|2003}}
}}
*{{citation|url=http://www.msri.org/communications/books/Book49/files/01birch.pdf|mr=2083207|contribution=Heegner points: the beginnings|first=B.|last=Birch|authorlink=Bryan John Birch|title=Heegner Points and Rankin L-Series|series=Mathematical Sciences Research Institute Publications|publisher=Cambridge University Press|volume=49|editor1-first=Henri|editor1-last=Darmon|editor1-link=Henri Darmon|editor2-first=Shou-wu|editor2-last=Zhang|editor2-link=Shou-Wu Zhang|isbn=0-521-83659-X}}.
*{{citation|last=Brown|first=M. L.|title=Heegner modules and elliptic curves|series=Lecture Notes In Mathematics|volume=1849|publisher=Springer-Verlag|year=2004|mr=2082815|isbn=3-540-22290-1}}.
*{{Citation | editor1-last=Darmon | editor1-first=Henri | editor2-last=Zhang | editor2-first=Shou-Wu | title=Heegner points and Rankin L-series | publisher=[[Cambridge University Press]] | series=Mathematical Sciences Research Institute Publications | isbn=978-0-521-83659-3 | mr=2083206 | year=2004 | volume=49|url=http://www.msri.org/communications/books/Book49}}
*{{citation|last1=Gross|first1=Benedict H.|author1-link=Benedict Gross|last2=Zagier|first2=Don B.|author2-link=Don Zagier|doi=10.1007/BF01388809|mr=0833192|title=Heegner points and derivatives of L-series|journal=[[Inventiones Mathematicae]]|volume=84|year=1986|issue=2|pages=225–320}}.
*{{citation|last1=Gross|first1=B.|author1-link=Benedict Gross|last2=Kohnen|first2=W.|last3=Zagier|first3=D.|author3-link=Don Zagier|doi=10.1007/BF01458081|mr=0909238|title=Heegner points and derivatives of L-series. II|journal=[[Mathematische Annalen]]|volume=278|year=1987|issue=1–4|pages=497–562}}.
* {{Cite journal| volume = 153| pages = 235–256| last = Gross| first = Benedict H.| title = Kolyvagin’s work on modular elliptic curves| journal = L-functions and arithmetic (Durham, 1989)| date = 1991 | ref = harvtxt}}
*{{citation|last=Heegner|first=Kurt|authorlink=Kurt Heegner|doi=10.1007/BF01174749|mr=0053135|title=Diophantische Analysis und Modulfunktionen|journal=[[Mathematische Zeitschrift]]|volume=56|year=1952|pages=227–253|issue=3}}.
*{{citation|last=Watkins|first=Mark|title=Some remarks on Heegner point computations|year=2006|arxiv=math/0506325v2|url=http://arxiv.org/abs/math.NT/0506325}}.
*{{citation|last=Brown|first=Mark|title=On a conjecture of Tate for elliptic surfaces over finite fields|journal=Proc. London Math. Soc.|volume=69|year=1994|pages=489–514|issue=3|doi=10.1112/plms/s3-69.3.489 }}.
{{DEFAULTSORT:ひいくなあてん}}
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