ヒーグナー点
数学において、ヒーグナー点(ヘーグナー点)（テンプレート:Lang-en-short）とは、モジュラー曲線上の点であって、上半平面の quadratic imaginary point の像となっているようなものである。ブライアン・バーチ (Bryan Birch) により定義され、テンプレート:仮リンク (Kurt Heegner) に因んで名づけられた。ヒーグナーは類数 1 の虚二次体上のガウスの予想を証明するために類似のアイデアを用いた。
グロス・ザギエの定理 テンプレート:Harv は、点 s = 1 における楕円曲線のL関数の微分のことばでヒーグナー点の高さを記述する。とくに楕円曲線の（解析的）階数が 1 であればヒーグナー点は無限位数（したがってテンプレート:仮リンクの階数は1以上）の曲線上の有理点を構成するのに使うことができる。より一般に、テンプレート:Harvtxt は、ヒーグナー点は各正整数 n に対し曲線上の有理点を構成するのに使うことができこれらの点の高さはウェイト 3/2 のモジュラー形式の係数であることを示した。
テンプレート:仮リンクは後にテンプレート:仮リンクを構成するためにヒーグナー点を用い、それによって階数 1 の楕円曲線に対するバーチ・スウィンナートン＝ダイヤー予想の多くを証明した。テンプレート:仮リンクはグロス・ザキエの定理を楕円曲線からモジュラーアーベル多様体の場合へと一般化した。ブラウンは正標数の大域体上の階数 1 の楕円曲線の多くに対してバーチ・スウィンナートン＝ダイヤー予想を証明した テンプレート:Harv。
ヒーグナー点は階数 1 の楕円曲線上の、単純な方法では見つけることのできなかった、非常に大きい有理点を計算するのに使うことができる（サーベイは テンプレート:Harv を参照）。アルゴリズムの実装は、MagmaやPARI/GPで可能である。
定義
テンプレート:Mvar を正整数、テンプレート:Math を楕円曲線 テンプレート:Mvar とその位数 テンプレート:Mvar の巡回部分群テンプレート:Sfn テンプレート:Mvar の組 テンプレート:Math のモジュライ空間である有理数体 テンプレート:Math 上のモジュラー曲線（のコンパクト化）とするテンプレート:Sfn。
テンプレート:Math の点 テンプレート:Math（テンプレート:Mvar は楕円曲線、テンプレート:Mvar は位数 テンプレート:Mvar の巡回部分群）が、テンプレート:Mvar と テンプレート:Math がともにある虚二次体 テンプレート:Mvar の整数環 テンプレート:Math に虚数乗法を持つとき、この点 テンプレート:Mvar を テンプレート:Math にCMを持つヒーグナー点というテンプレート:Sfn。また、テンプレート:Math を テンプレート:Mvar の判別式とするとき、この点 テンプレート:Mvar のことを判別式 テンプレート:Math のヒーグナー点ともいう。テンプレート:Mvar と虚二次体 テンプレート:Mvar がヒーグナー条件と呼ばれる条件
- テンプレート:Mvar の任意の素因子は テンプレート:Mvar で分解する
を満たすときに判別式 テンプレート:Math のヒーグナー点は存在する。テンプレート:Math を テンプレート:Mvar のヒルベルト類体とするとき、虚数乗法論よりヒーグナー点は テンプレート:Math に入る。また、テンプレート:Math を テンプレート:Mvar の素因子の個数、テンプレート:Math を テンプレート:Mvar の類数とするとき、判別式 テンプレート:Math のヒーグナー点はちょうど テンプレート:Math 個だけ存在する。
ヒーグナー点 テンプレート:Mvar から定まる次の点もヒーグナー点と言われるテンプレート:Sfn。
- テンプレート:Math を テンプレート:Math のヤコビ多様体とする。自然な射
テンプレート:Pad
によるヒーグナー点の像もヒーグナー点という。 - テンプレート:Mvar をレベル テンプレート:Math 重さ2のヘッケ固有テンプレート:仮リンク、テンプレート:Math を テンプレート:Mvar に付随するアーベル多様体とする。自然な射 テンプレート:Math によるヒーグナー点の像もヒーグナー点という。さらに、トレース写像 テンプレート:Math によるヒーグナー点の像もヒーグナー点という。