モジュラー曲線

モジュラー曲線（モジュラーきょくせん）とは複素上半平面 H の合同部分群 Γ の作用による商として定義されるリーマン面のことである。合同部分群 Γ とは、整数の 2 × 2 の行列 SL(2, Z) のある部分群のことである。モジュラー曲線はコンパクトとは限らないが、有限個の Γ のカスプと呼ばれる点を加えることでコンパクト化されたモジュラー曲線 X(Γ) を定めることができる。モジュラー曲線の点は、楕円曲線とそれに付随する群 Γ に関係するある構造をもったものの同型類の集合とみなすことができ、モジュラー曲線を代数幾何的に、また有理数体 Q や円分体の上でモジュラー曲線を定義することもできる。このことからモジュラー曲線は整数論で重要な対象である。

解析的定義

モジュラー群 SL(2, Z) は上半平面上に一次分数変換として作用する。SL(2, Z) の合同部分群 Γ をとは、ある正の整数 N に対し、テンプレート:仮リンク(principal congruence subgroup of level N)を含むような部分群のことである。ここで主合同部分群 Γ(N) とは

$\mathrm{\Gamma }(N)=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right):a,d\equiv \pm 1modN\text{ and }b,c\equiv 0modN\}$

なる群をあらわす。

そのような N の最小の値をΓ のレベルという。この群による商 Γ\H に複素構造を定めたものを非コンパクトなモジュラー曲線$Y\left(\mathrm{\Gamma }\right):=\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }\mathscr{H}$という。これはリーマン面 である。

コンパクト化されたモジュラー曲線

Y(Γ) のコンパクト化は、Γ のカスプと呼ばれる有限個の点を加えることにより得られる。特に、このコンパクト化は、拡張された複素上半平面 H* = テンプレート:Nowrap} 上の Γ の作用を考えることにより得られる。H* に次を開基とする位相を定める。

• H の上のすべての開集合
• すべての r > 0 に対し、集合 $\{\mathrm{\infty }\}\cup \{\tau \in 𝐇\mid \text{Im}(\tau )>r\}$
• すべての互いに素な整数 a, c と m, n は an + cm = 1 となる整数 m, n と、すべての r > 0 に対し、作用

$\left(\begin{array}{cc}a& -m\\ c& n\end{array}\right)$

の下で、$\{\mathrm{\infty }\}\cup \{\tau \in 𝐇\mid \text{Im}(\tau )>r\}$ の像

これは、 H* をリーマン球面 P¹(C) の部分集合へ変える。群 Γ は部分集合 テンプレート:Nowrap} 上へ作用し、Γ のカスプと呼ばれる有限個の軌道へ分解する。特に Γ が テンプレート:Nowrap} 上に推移的に作用すると、空間 Γ\H* は Γ\H の一点コンパクト化となる。この カスプ(テンプレート:Lang、尖点)を加えてコンパクト化したリーマン面テンプレート:Sfnを$X\left(\mathrm{\Gamma }\right):=\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }{\mathscr{H}}^{*}$と書く。X(Γ) は Y(Γ) の空間のコンパクト化である。

例

最も知られている例は、曲線 X(N), X₀(N) と X₁(N) であり、それぞれ合同部分群 Γ(N), Γ₀(N) と Γ₁(N) から定まるものである。

モジュラー曲線 X(5) は種数 0 を持ち、正二十面体の頂点に 12個のカスプを持つリーマン球面である。被覆 X(5) → X(1) はリーマン球面上のテンプレート:仮リンク(icosahedral group)の作用による商である。この群は位数 60 の単純群で、対称群 A₅ および PSL(2, 5) とに同型である。

モジュラー曲線 X(7) は、カスプを 24個持つ種数 3 のテンプレート:仮リンク(Klein quartic)である。これは3つのハンドルつきの曲面を 24 個の七角形でタイリングし、各々の面の中心にカスプを持っていると解釈することができる。これらのタイリングは、dessins d'enfants やテンプレート:仮リンク(Belyi function)を通して理解することができる。カスプは、無限遠点 ∞ 上にある（赤い点）、一方、頂点と辺の中心にある（黒と白の点）カスプは、0 と 1 にある。被覆 X(7) → X(1) のガロア群は、PSL(2, 7) に同型な位数 168 の単純群である。

X₀(N) には、明確な古典モデルである古典的モジュラー曲線が存在し、これを「モジュラー曲線」という場合もある。Γ(N) の定義は次のように言い直すこともできる。Γ(N) は、法 N 還元 SL₂(Z) → SL₂(Z/NZ) の核である。Γ₀(N) は法 N 還元して上三角行列になるもの全体のなす部分群

${\mathrm{\Gamma }}_0(N)=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right):c\equiv 0modN\}$

であり、Γ₁(N) はこのふたつの中間にある群であり、

${\mathrm{\Gamma }}_1(N)=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right):a\equiv 1modN,c\equiv 0modN\}$

で定義される。

これらの曲線は、レベル構造つき楕円曲線のモジュライ空間として解釈される。このため、モジュラー曲線はテンプレート:仮リンク(arithmetic geometry)で重要な役割を果たす。レベル N のモジュラー曲線 X(N) は、楕円曲線とそのN-等分点の基底の組のモジュライ空間である。X₀(N) と X₁(N) の付加構造は、それぞれ、位数 N の巡回部分群、位数 N の点である。これらの曲線は、非常に詳しく研究されており、特に、X₀(N) は有理数体上で定義することができる。

モジュラ曲線を定義する方程式は、テンプレート:仮リンク(modular equation)の最も良く知られた例である。この「最良のモデル」は楕円函数論から直接得られる理論とは非常に異なっている。ヘッケ作用素は、二つのモジュラー曲線の間の対応として幾何学的に研究される。

注意: コンパクトな H の商は、モジュラ群の部分群以外に、テンプレート:仮リンク(Fuchsian group) Γ に対し発生する。これは、四元数からくる構成されるこれらのクラスは、数論でも興味がもたれている。

種数

被覆 X(N) → X(1) はガロア群 SL(2, N)/{1, −1} を持つガロア被覆であり、N が素数であればこのガロア群は PSL(2, N) と同じになる。リーマン・フルヴィッツの公式とガウス・ボネの定理を適用すると、X(N) の種数を計算することができる。レベルが素数 p ≥ 5 であれば、

$-\pi \chi (X(p))=|G|\cdot D$

である。ここに χ = 2 − 2g はオイラー標数、|G| = (p + 1)p(p − 1)/2 は群 PSL(2, p) の位数、D = π − π/2 − π/3 − π/p は球状の (2,3,p) の三角形のテンプレート:仮リンク(angular defect)である。このことから、公式

$g=\frac{1}{24}(p+2)(p-3)(p-5)$

が導かれる。

このようにして、X(5) は種数 0 であり、X(7) は種数 3 であり、X(11) は種数26 であることがわかる。p = 2 あるいは 3 に対しは分岐を考えに入れる、つまり、PSL(2, Z) には位数 p の元が存在し、PSL(2, 2) は位数 3 というよりも位数 6 であることを考慮する必要がある。N を因子として含むレベル N のモジュラー曲線の種数についてのより複雑な公式がある。

種数 0

一般に、モジュラー函数体とは、モジュラー曲線（あるいは既約であるような他のモジュライ空間）の函数体である。種数が 0 であることは、そのような函数体が唯一の超越函数を生成元として持っていることを意味し、たとえば、j-函数は $X(1)=PSL(2,\mathbb{Z})\mathrm{\setminus }ℍ$ の函数体を生成する。この生成元はメビウス変換で移りあう函数を同一視すると一意となり、適切に正規化することができ、そのような函数を Hauptmodul (あるいは主モジュラー函数(principal modular function)と呼ぶ。

空間 X₁(n) は n = 1, ..., 10 と n = 12 に対して、種数 0 である。これらの曲線は、Q 上で定義されているので、そのような曲線上には無限に多くの有理点が存在し、よって、これらの n の値に対し n-捩れを持つ有理数体上定義された楕円曲線が無限に存在する。n がこれらの値のときのみ、逆のステートメントが成り立ち、これがメイザーの捩れ定理である。

体上のモデル

テンプレート:Mvar を合同部分群とする。複素数体 テンプレート:Math の部分環 テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Mvar 上のスキーム テンプレート:Mvar と複素解析的同型 テンプレート:Math の組 テンプレート:Math であって、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar 上1次元ファイバーを持つものをモジュラー曲線 テンプレート:Math の テンプレート:Mvar 上のモデルというテンプレート:Sfn。この定義において テンプレート:Math を テンプレート:Math に置き換えたものもモデルというテンプレート:Sfnテンプレート:Efn。例えば整数環 テンプレート:Math 上のアフィン直線 テンプレート:Math と [[j-不変量|テンプレート:Mvar 関数]]の組は テンプレート:Math の整数環 テンプレート:Math 上のモデルであるテンプレート:Sfn。

以下、テンプレート:Mvar は正整数とする。

テンプレート:Math

テンプレート:Math を テンプレート:Math で定義される上半平面上の関数とするテンプレート:Sfn。テンプレート:Math は有理数体 テンプレート:Math 上の超越次元が1の体で、この体に含まれる テンプレート:Math 上代数的な元は テンプレート:Math の元のみであるテンプレート:Sfn。よって関数体と非特異射影代数曲線の対応により テンプレート:Math 上のある非特異射影代数曲線 テンプレート:Math であってその関数体がこれになるものが存在するテンプレート:Sfn。これは テンプレート:Math の テンプレート:Math 上のモデルになっているテンプレート:Sfn。

テンプレート:Math とモジュラー方程式

モジュラー方程式と呼ばれる、次の性質を持つ整数係数2変数多項式 テンプレート:Math が存在するテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。

• テンプレート:Math を テンプレート:Math の元と見たとき、これは テンプレート:Math の最小多項式である。
• テンプレート:Math は既約多項式である。

例えば テンプレート:Math に対しては　

${\mathrm{\Phi }}_2(X,Y)=X^3+Y^3-X^2{Y}^2+1488XY(X+Y)-162000(X^2+Y^2)+40773375XY+8748000000(X+Y)-157464000000000$

であるテンプレート:Sfn。この例からもわかるように テンプレート:Math は対称多項式である。この方程式で定義される有理数体上の代数曲線の特異点を解消し完備化したものが テンプレート:Math と同型であるテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。

テンプレート:Math

上半平面 テンプレート:Math 上の関数 テンプレート:Math を次で定義するテンプレート:Sfn。

$f_1(\tau )=\frac{g_2(\tau )}{g_3(\tau )}{\mathrm{\wp }}_{\tau }\left(\frac{1}{N}\right)$

ここで テンプレート:Math はヴァイエルシュトラスの楕円函数、テンプレート:Math と テンプレート:Math は テンプレート:Math が成り立つ関数であるテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。テンプレート:Math は テンプレート:Math についてのモジュラー関数であるテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。体 テンプレート:Math を関数体に持つ テンプレート:Math 上の非特異射影代数曲線を テンプレート:Math とすると、これが テンプレート:Math のモデルになるテンプレート:Sfn。

整モデル

テンプレート:Mvar を正整数、テンプレート:Mvar を0もしくは1とする。テンプレート:Math には テンプレート:Math と書かれる テンプレート:Math 上のモデルが存在し次の性質を持っているテンプレート:Efn。

• テンプレート:Math はアフィン・スキームであるテンプレート:Sfn。
• テンプレート:Math は連結であるテンプレート:Sfn。
• テンプレート:Math はテンプレート:仮リンク であるテンプレート:Sfn。
• テンプレート:Math は、テンプレート:Mvar を一回だけ割る素数 テンプレート:Mvar において準安定であるテンプレート:Sfn。
• テンプレート:Math は テンプレート:Math 上滑らかであるテンプレート:Sfn。
• テンプレート:Math 上のスキームの圏から集合の圏への関手 テンプレート:Math を、スキーム テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math を テンプレート:Mvar 上の楕円曲線 テンプレート:Mvar とその位数 テンプレート:Mvar の巡回部分群スキーム テンプレート:Mvar の組 テンプレート:Math の同型類の集合とすることにより定義するテンプレート:Sfn。テンプレート:Math はこの関手の粗モジュライであるテンプレート:Sfn。特に、任意の代数閉体 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 上の楕円曲線 テンプレート:Mvar とその位数 テンプレート:Mvar の巡回部分群スキーム テンプレート:Mvar の組 テンプレート:Math の同型類と自然に一対一対応するテンプレート:Sfn。
• テンプレート:Math 上のスキームの圏から集合の圏への関手 テンプレート:Math を、スキーム テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math を テンプレート:Mvar 上の楕円曲線 テンプレート:Mvar とその位数がちょうど テンプレート:Mvar の切断 テンプレート:Math の組 テンプレート:Math の同型類の集合とすることにより定義するテンプレート:Sfn。テンプレート:Math はこの関手の粗モジュライであるテンプレート:Sfn。特に、任意の代数閉体 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 上の楕円曲線 テンプレート:Mvar とその位数がちょうど テンプレート:Mvar の切断 テンプレート:Math の組 テンプレート:Math の同型類の集合と自然に一対一対応するテンプレート:Sfn。

テンプレート:Math を自然な射 テンプレート:Math に関する テンプレート:Math の整閉包とするテンプレート:Sfn。テンプレート:Math は次の性質を持っている。

• テンプレート:Math は テンプレート:Math 上の射影的かつ正規な代数曲線であるテンプレート:Sfn。
• テンプレート:Math の各幾何的ファイバーは連結である。
• テンプレート:Mvar を割らない素数 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math は滑らかである。テンプレート:Math は テンプレート:Math のスムーズコンパクト化である。
• テンプレート:Math 上のスキームの圏から集合の圏への関手 テンプレート:Math を、スキーム テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math を テンプレート:Mvar 上の広義楕円曲線 テンプレート:Mvar とその豊富な位数 テンプレート:Mvar の巡回部分群スキーム テンプレート:Mvar の組 テンプレート:Math の同型類の集合とすることにより定義するテンプレート:Sfn。テンプレート:Math はこの関手の粗モジュライであるテンプレート:Sfn。特に、任意の代数閉体 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 上の広義楕円曲線 テンプレート:Mvar とその豊富な位数 テンプレート:Mvar の巡回部分群スキーム テンプレート:Mvar の組 テンプレート:Math の同型類の集合と自然に一対一対応するテンプレート:Sfn。

モンスター群との関係

テンプレート:Main 種数 0 のモジュラー曲線はモンストラス・ムーンシャイン予想との関係で非常に重要であることが判明した。モジュラー曲線の Hauptmoduln を q-展開した係数の最初のいくつかが、19世紀に既に計算されていたが、最も大きな単純散在モンスター群の表現空間の次元と同じになっていることが、非常に衝撃的である。

もうひとつの関係は、SL(2, R) の Γ₀(p) の正規化群 Γ₀(p)⁺ から定まるモジュラー曲線が種数 0 であることと、p が 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 あるいは、71 であることと同値である。さらにこれらの素数はモンスター群の位数の素因子と一致する。この Γ₀(p)⁺ についての結果は、ジャン＝ピエール・セール(Jean-Pierre Serre), テンプレート:仮リンク(Andrew Ogg)とジョン・トンプソン(John G. Thompson)が1970年代に発見し、モジュラー群とモンスター群の関係を発見したオッグは、この事実を説明したものには、ジャックダニエル（テネシー・ウイスキー）のボトルを進呈すると論文に記載した。

この関係は非常に深く、リチャード・ボーチャーズ(Richard Borcherds)により示されたように、一般カッツ・ムーディリー代数とも深く関係する。この分野の仕事は、至るところで正則でカスプを持つモジュラー形式に対し、有理型でありカスプで極を持つことのできるモジュラー函数の重要性を示している。これらの仕事は、20世紀の重要な研究の対象となった。

関連項目

• テンプレート:仮リンク(Manin–Drinfeld theorem)
• モジュラー性定理
• 志村多様体、高次元へのモジュラー曲線の一般化

参考文献

• テンプレート:Citation
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• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite conference
• テンプレート:Cite web
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