一次分数変換

数学の特に複素解析における一次分数変換（いちじぶんすうへんかん、テンプレート:Lang-en-short）は、複素数体 テンプレート:Math 上の射影直線 テンプレート:Math に対する射影変換であるメビウス変換を指す用語として用いられる。より一般の数学的文脈において、複素数体 テンプレート:Math はもっと別の環 テンプレート:Math に取り換えることができる。この場合の一次分数変換は、環 テンプレート:Mvar 上の射影直線 テンプレート:Math 上の射影変換の意味である。テンプレート:Mvar が可換環ならば、一次分数変換はよく知られた形

$z\mapsto \frac{az+b}{cz+d},(z,a,b,c,d\in A)$

として書き表すことができるが、非可換の場合には右辺の点の座標をテンプレート:仮リンクで テンプレート:Math と書くのが自然である。射影空間上の斉次座標の同値性に従えば、（テンプレート:Math が単元であるとき）

$U(az+b,cz+d)\sim U((cz+d{)}^{-1}(az+b),1)$

が成り立つことに注意する。

一次分数変換の等角性

各種二元数（通常の複素数、分解型複素数、二重数）の成す可換環は、「角度」で表すことのできる環である。これらに対してその虚軸上で定義された純虚指数函数:

$\exp (yj)=\cosh y+j\sinh y,(j^2=+1),$

$\exp (yϵ)=1+yϵ,({ϵ}^2=0),$

$\exp (yi)=\cos y+i\sin y,(i^2=-1)$

（ただし、「偏角」テンプレート:Mvar はそれぞれ、テンプレート:仮リンク、傾き（抛物角）、円角としてそれぞれの環上で測った角度）は、テンプレート:Math 内のテンプレート:仮リンクから単元群 テンプレート:Math への準同型写像を与える。

一次分数変換は逆数函数 テンプレート:Math および一次函数 テンプレート:Math によって生成することができるから、その共形性（等角性）は生成元がそうであることを示すことで証明できる。実際、平行移動 テンプレート:Math は原点の取り換えであって角度を変えない。またテンプレート:仮リンク テンプレート:Math が等角であることは、テンプレート:Mvar のテンプレート:仮リンクを考えれば、どの二元数環上でも偏角成分は テンプレート:Mvar の偏角を テンプレート:Mvar の偏角に加えるという等角写像になることから従う。それから反転変換 テンプレート:Math は、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の何れか (テンプレート:Math) として テンプレート:Math となるからやはり等角である。

関連項目

• 射影線型群

参考文献

• B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko, S.P. Novikov (1984) Modern Geometry — Methods and Applications, volume 1, chapter 2, §15 Conformal transformations of Euclidean and Pseudo-Euclidean spaces of several dimensions, Springer-Verlag ISBN 0-387-90872-2.
• Geoffry Fox (1949) Elementary Theory of a hypercomplex variable and the theory of conformal mapping in the hyperbolic plane, Master’s thesis, University of British Columbia.
• P.G. Gormley (1947) "Stereographic projection and the linear fractional group of transformations of quaternions", Proceedings of the Royal Irish Academy, Section A 51:67–85.
• A.E. Motter & M.A.F. Rosa (1998) "Hyperbolic calculus", Advances in Applied Clifford Algebras 8(1):109 to 28, §4 Conformal transformations, page 119.
• Tsurusaburo Takasu (1941) Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen, hyperbolischen konformen und parabolischen konformen Differentialgeometrie, 2, Proceedings of the Imperial Academy 17(8): 330–8, link from Project Euclid, テンプレート:Mr
• Isaak Yaglom (1968) Complex Numbers in Geometry, page 130 & 157, Academic Press