古典的モジュラー曲線

数論において、古典的モジュラー曲線とは既約な平面代数曲線であって、方程式

テンプレート:Math

を満たし、点 テンプレート:Math が曲線の上にあるようなものである。ここで、テンプレート:Math は [[j-不変量|テンプレート:Mvar-不変量]]のことを指す。

この曲線は テンプレート:Math と呼ばれることもあるが、テンプレート:Math という記法はさまざまなモデルを持つような抽象的な代数曲線に対して使われる。関連する対象に、古典的モジュラー多項式という、テンプレート:Math で定義される一変数多項式もある。古典的モジュラー多項式という名前は、二変数多項式 テンプレート:Math を指して使われることもある。

古典的モジュラー曲線はモジュラー曲線の広大な理論の一部分であることに注意されたい。特に、古典的モジュラー曲線は複素上半平面 テンプレート:Math の商のコンパクト化として表現することもできる。

モジュラー曲線の幾何

Knot at infinity of テンプレート:Math

古典的モジュラー曲線は テンプレート:Math と表記される。多項式 テンプレート:Math は整数係数を持ち、それゆえ任意の体で定義される。しかし、係数は相当に大きく、この曲線に対する計算は難しい場合がある。テンプレート:Math 係数の テンプレート:Mvar に関する多項式としてみると、古典的モジュラー多項式の次数は テンプレート:Math である。ここで テンプレート:Mvar は テンプレート:仮リンク である。テンプレート:Math であるため、 テンプレート:Math は直線 テンプレート:Math に関して線対称であり、テンプレート:Math の重根において特異点を持ち、そこで古典的モジュラー曲線は自分自身と交差する。

モジュラー曲線のパラメータ付け

テンプレート:Math に対しては、 テンプレート:Math の種数は 0 である。そのため、有理関数によるパラメータ付けができる[1]。非自明な中で最も単純である例は テンプレート:Math であり、

$j_2(q)=q^{-1}-24+276q-2048q^2+11202q^3+\cdots ={\left(\frac{\eta (q)}{\eta (q^2)}\right)}^{24}$

を (定数項を無視した) モンスター群のクラス 2B の元に対するテンプレート:仮リンクとし、テンプレート:Mvar をデデキントのイータ関数としたとき、

$x=\frac{(j_2+256{)}^3}{j_2^2},$

$y=\frac{(j_2+16{)}^3}{j_2}$

は テンプレート:Math の有理関数による テンプレート:Math のパラメータ付けである。このパラメータ付けを使う際実際に テンプレート:Math を計算する必要はない。テンプレート:Math の部分は任意のパラメータと見なすことができる。

具体例

これらの具体例は[2]による。

${\mathrm{\Phi }}_1(x,y)=x-y$

${\mathrm{\Phi }}_2(x,y)=(x^3+y^3)-162000(x^2+y^2)+1488xy(x+y)-x^2{y}^2+8748000000(x+y)+40773375xy-157464000000000$

関連項目

• 代数曲線
• j-不変量
• モジュラー曲線
• モジュラー関数

参考文献

• テンプレート:Citation, reprinted in Mathematische Werke, third edition, Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen, 1983, 568-576
• Anthony Knapp, Elliptic Curves, Princeton, 1992
• Serge Lang, Elliptic Functions, Addison-Wesley, 1973
• Goro Shimura, Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions, Princeton, 1972

外部リンク

• テンプレート:OEIS el
• [3] Coefficients of テンプレート:Math