ビアンキ群のソースを表示

{{for|3次元リー群やリー代数|ビアンキ分類}}
数学において、'''ビアンキ群''' (Bianchi group) は
:<math>\operatorname{PSL}_2(\mathcal{O}_d)</math>
という形の[[群 (数学)|群]]である。ただし {{Mvar|d}} は[[平方因子を持たない整数|平方因子を持たない正の整数]]である。{{math|PSL}} は[[射影線型群|射影特殊線型群]]を表し、<math>\mathcal{O}_d</math> は[[二次体|虚二次体]] {{math|'''Q'''({{sqrt|−''d''}})}} の[[整数環]]である。

この群は、最初に {{harvtxt|Bianchi|1892}} により、今では{{仮リンク|クライン群|en|Kleinian group}}と呼ばれている {{math|PSL{{sub|2}}('''C''')}} の[[離散群|離散部分群]]の自然なクラスとして、研究された。

{{math|PSL{{sub|2}}('''C''')}} の部分群として、ビアンキ群は、3次元{{仮リンク|双曲空間|en|Hyperbolic space}} {{math|'''H'''{{sup|3}}}} の[[向き|向き付けを保つ]][[等長写像|等長変換]]として作用する。商空間 <math>M_d = \operatorname{PSL}_2(\mathcal{O}_d) \backslash \mathbb{H}^3</math> は有限の体積を持つ非コンパクトな双曲的 3 次元多様体であり、'''ビアンキ多様体'''とも呼ばれる。基礎体 {{math|'''Q'''({{sqrt|−''d''}})}} の[[デデキントゼータ函数]]を用いた体積の正確な公式は、{{仮リンク|マリ・ジョージ・アンベル|label=アンベル|en|Marie Georges Humbert}} (Humbert) により次のように計算された。{{mvar|D}} を  {{math|'''Q'''({{sqrt|−''d''}})}} の{{仮リンク|代数体の判別式|label=判別式|en|Discriminant of a number field}}とし、<math>\Gamma = \operatorname{SL}_2(\mathcal{O}_d)</math> を {{mathbf|H}} への不連続な作用とすると、
:<math>\operatorname{vol}(\Gamma \backslash \mathbb{H}) = \frac{|D|^{3/2}}{4\pi^2} \, \zeta_{\mathbb{Q}(\sqrt{-d})}(2)</math>
となる。{{mvar|M{{sub|d}}}} のカスプ全体の集合は、{{math|'''Q'''({{sqrt|−''d''}})}} の[[類群]]と[[全単射]]の対応がつく。任意の非コンパクトな数論的クライン群は、ビアンキ群と弱通約的 (weakly commensurable) であることがよく知られている{{Sfnp|Maclachlan|Reid|2002|p=58}}。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}

== 参考文献 ==
*{{cite journal|last1=Bianchi|first1=Luigi|title=Sui gruppi di sostituzioni lineari con coefficienti appartenenti a corpi quadratici immaginarî|publisher=Springer|location=Berlin/Heidelberg|doi=10.1007/BF01443558|year=1892|journal=[[Mathematische Annalen]]|oclc=223702365|lccn=28024764|issn=0025-5831|volume=40|jfm=24.0188.02|pages=332–412|ref=harv}}
* {{cite book|first1=Juergen|last1=Elstrodt|first2=Fritz|last2=Grunewald|first3=Jens|last3=Mennicke|title=Groups Acting On Hyperbolic Spaces|series=[[Springer Monographs in Mathematics]]|publisher=[[Springer Verlag]]|date=November 25, 1997|asin=3540627456|oclc=851372121|ncid=BA33867572|isbn=3-540-62745-6|zbl=0888.11001|ref=harv}}
*{{cite book|last1=Fine|first1=Benjamin|title=Algebraic theory of the Bianchi groups|url=https://books.google.co.jp/books?id=1D6crOEoRFEC&redir_esc=y&hl=ja|publisher=Marcel Dekker Inc.|location=New York|series=Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics|oclc=804027914|asin=0824781929|ncid=BA07264649|isbn=978-0-8247-8192-7|mr=1010229|date=July 17, 1989|volume=129|zbl=0760.20014|ref=harv}}
*{{SpringerEOM|title=Bianchi group|last=Fine|first=B.|urlname=Bianchi_group}}
* {{cite book|first1=Colin|last1=Maclachlan|first2=Alan W.|last2=Reid|title=The Arithmetic of Hyperbolic 3-Manifolds|series=[[Graduate Texts in Mathematics]]|publisher=[[Springer-Verlag]]|volume=219|date=November 14, 2002|asin=0387983864|oclc=936525755|ncid=BA60157321|isbn=0-387-98386-4|zbl=1025.57001|ref=harv}}

== 外部リンク ==
* Allen Hatcher, [http://www.math.cornell.edu/~hatcher/bianchi.html ''Bianchi Orbifolds'']

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{{DEFAULTSORT:ひあんきくん}}
[[Category:群論]]
[[Category:数学に関する記事]]