ビアンキ群

テンプレート:For 数学において、ビアンキ群 (Bianchi group) は

${\mathrm{PSL}}_2({𝒪}_d)$

という形の群である。ただし テンプレート:Mvar は平方因子を持たない正の整数である。テンプレート:Math は射影特殊線型群を表し、${𝒪}_d$ は虚二次体 テンプレート:Math の整数環である。

この群は、最初に テンプレート:Harvtxt により、今ではテンプレート:仮リンクと呼ばれている テンプレート:Math の離散部分群の自然なクラスとして、研究された。

テンプレート:Math の部分群として、ビアンキ群は、3次元テンプレート:仮リンク テンプレート:Math の向き付けを保つ等長変換として作用する。商空間 $M_d={\mathrm{PSL}}_2({𝒪}_d)\mathrm{\setminus }{ℍ}^3$ は有限の体積を持つ非コンパクトな双曲的 3 次元多様体であり、ビアンキ多様体とも呼ばれる。基礎体 テンプレート:Math のデデキントゼータ函数を用いた体積の正確な公式は、テンプレート:仮リンク (Humbert) により次のように計算された。テンプレート:Mvar を テンプレート:Math のテンプレート:仮リンクとし、$\mathrm{\Gamma }={\mathrm{SL}}_2({𝒪}_d)$ を テンプレート:Mathbf への不連続な作用とすると、

$\mathrm{vol}(\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }ℍ)=\frac{|D{|}^{3/2}}{4{\pi }^2}{\zeta }_{\mathbb{Q}(\sqrt{-d})}(2)$

となる。テンプレート:Mvar のカスプ全体の集合は、テンプレート:Math の類群と全単射の対応がつく。任意の非コンパクトな数論的クライン群は、ビアンキ群と弱通約的 (weakly commensurable) であることがよく知られているテンプレート:Sfnp。

参考文献

• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:SpringerEOM
• テンプレート:Cite book

外部リンク

• Allen Hatcher, Bianchi Orbifolds