ピタゴラスの定理のソースを表示

{{Infobox mathematical statement
|name = ピタゴラスの定理
|image = Pythagorean.svg
|caption =
|type = [[定理]]
|field = [[ユークリッド幾何学]]
|statement = 2辺 ({{math2|''a'', ''b''}}) 上の2つの正方形の面積の和は、斜辺 ({{mvar|c}}) 上の正方形の面積に等しくなる。
|symbolic statement = <math>a^2 + b^2 = c^2</math>
|generalizations = {{Plainlist|
* [[余弦定理]]
* [[空間幾何学]]
* [[非ユークリッド幾何学]]
* [[微分幾何学]]
}}
|consequences = {{Plainlist|
* [[ピタゴラス数]]
* 逆ピタゴラスの定理
* [[複素数]]
* [[ユークリッド距離]]
* [[ピタゴラスの三角恒等式]]
}}
}}
[[初等幾何学]]における{{読み仮名|'''ピタゴラスの定理'''|ピタゴラスのていり|{{lang-en-short|Pythagorean theorem}}}}は、[[直角三角形]]の3[[辺]]の長さの間に成り立つ関係について述べた[[定理]]である。その関係は、[[斜辺]]の長さを {{mvar|c}}, 他の2辺の長さを {{math2|''a'', ''b''}} とすると、
:<math>c^2=a^2+b^2</math>
という[[等式]]の形で述べられる<ref name="大矢2001" /><ref name="大矢1975" /><ref name="大矢1952" />。

現在の日本では{{読み仮名|'''三平方の定理'''|さんへいほうのていり}}とも呼ばれている。戦前の日本では{{読み仮名|'''勾股弦の定理'''|こうこげんのていり}}と呼ばれていた。「[[ピタゴラス]]」と冠しているが、発見を含めて、定理と何か関係があるのかから知られていない。

ピタゴラスの定理によって、直角三角形において2辺の長さが分かっていれば、残りの1辺の長さを計算することができる<ref group="注">故に {{math2|(''a'', ''b'', ''c'')}} の[[自由度]]は2次元である。</ref>。例えば、2次元[[直交座標系]]において、座標が分かっている2点間の[[距離空間|距離]]を求めることができる。2点間の距離は、2点の各座標の差の 2乗の総和の[[平方根]]となる<ref group="注">2次元直交座標系においては、原点{{math|O(0, 0)}} と点{{math|P(''x'', ''y'')}} の距離は {{math2|{{sqrt|''x''{{sup|2}} + ''y''{{sup|2}}}}}} と表すことができる。ここで {{math|√}} は負でない[[平方根]]を表す。</ref>。このことは3次元直交座標系でも成り立つ。このようにして一般の有限次元直交座標系に対して導入される距離は[[ユークリッド距離]]と呼ばれる。

{{math2|(''a'', ''b'', ''c'')}} で特に全てが自然数であるものは、本質的に[[可算]]個あることが知られており、[[ピタゴラス数]]と呼ばれている。

== 定理の概要 ==
直角三角形において、[[斜辺]]の[[長さ]]を {{mvar|c}}、直角をはさむ 2辺の長さを {{math2|''a'', ''b''}} とすると、次の[[等式]]が成り立ち、「ピタゴラスの定理」と呼ばれる：
:<math>a^2 + b^2 = c^2</math>
ここで {{math2|''a'', ''b'', ''c''}} はいずれも正であるから、2辺の長さから残りの辺の長さを、次のように計算できる：
:<math>a = \sqrt{c^2 - b^2}</math>
:<math>b = \sqrt{c^2 - a^2}</math>
:<math>c = \sqrt{a^2 + b^2}</math>

この定理は、[[余弦定理]]によって一般の三角形に拡張される：任意の三角形において、1つの内角の大きさとそれをはさむ2辺の長さから残りの辺（対辺）の長さを計算できる。特にここで考えている内角の大きさが直角の場合、余弦定理はピタゴラスの等式に帰着する。

== 歴史 ==
[[画像:Plimpton 322.jpg|260px|thumb|[[バビロニア数学]]について記された[[粘土板]][[プリンプトン322]]]]
「[[ピタゴラス]]が[[直角二等辺三角形]]のタイルが敷き詰められた床を見ていて、この定理を思いついた」などいくつかの逸話が伝えられているが、実際にこの定理にピタゴラス自身が関わった事があるかから全く分かっていない。

ピタゴラスの定理の内容は歴史上の文献にいくつか著されているが、どれだけあるのかは議論がある。ピタゴラスが生まれる前からピタゴラスの定理は広く知られていたと言われるものの、特に[[ユークリッド原論]]によって数学が体系化されるよりも前の時代だと、定理のように一般化された形ではなく特定の直角三角形の性質に留まるものが多くなる。辺の長さの比が3:4:5のように特殊な直角三角形がピタゴラスの定理の式を満たす事が分かっていたとしても、全ての直角三角形で定理の式が成り立つと理解できていたかは別の話であり、この意味で、ピタゴラスの定理の真の発見者を特定するのは難しい。

判明しているもので最初期のものは、ピタゴラスが生まれる1000年以上前の[[バビロン第1王朝]]時代ごろ（紀元前20世紀から16世紀の間）とされる<ref>{{harvnb|Neugebauer|1969}}: p.36 "In other words it was known during the whole duration of Babylonian mathematics that the sum of the squares on the lengths of the sides of a right triangle equals the square of the length of the hypotenuse."</ref><ref>{{Cite journal |author=Friberg, Jöran |url=https://www.researchgate.net/publication/222892801 |title=Methods and traditions of Babylonian mathematics: Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations |journal=Historia Mathematica |volume=8 |pages=277-318 |year=1981 |doi=10.1016/0315-0860(81)90069-0 |doi-access=free}}: p.306 "Although Plimpton 322 is a unique text of its kind, there are several other known texts testifying that the Pythagorean theorem was well known to the mathematicians of the Old Babylonian period."</ref><ref>{{Cite conference|last=Høyrup|first=Jens|authorlink=:en:Jens Høyrup|contribution=Pythagorean ‘Rule’ and ‘Theorem’ – Mirror of the Relation Between Babylonian and Greek Mathematics|pages=393-407|editor-last=Renger|editor-first=Johannes|title=Babylon: Focus mesopotamischer Geschichte, Wiege früher Gelehrsamkeit, Mythos in der Moderne. 2. Internationales Colloquium der Deutschen Orient-Gesellschaft 24.–26. März 1998 in Berlin|publisher=Berlin: Deutsche Orient-Gesellschaft / Saarbrücken: SDV Saarbrücker Druckerei und Verlag|url=http://akira.ruc.dk/~jensh/Publications/Pythrule.pdf}}, p.406, "''To judge from this evidence alone'' it is therefore likely that the Pythagorean rule was discovered within the lay surveyors’ environment, possibly as a spin-off from the problem treated in Db{{sub|2}}-146, somewhere between 2300 and 1825 BC." ({{ill2|IM 67118|en|IM 67118}}(Db{{sub|2}}-146) is an Old Babylonian clay tablet from [[Eshnunna]] concerning the computation of the sides of a rectangle given its area and diagonal.)</ref><ref>{{Cite book |authorlink=:en:Eleanor Robson |last=Robson |first=E. |title=Mathematics in Ancient Iraq: A Social History |publisher=Princeton University Press |year=2008}}: p.109 "Many Old Babylonian mathematical practitioners … knew that the square on the diagonal of a right triangle had the same area as the sum of the squares on the length and width: that relationship is used in the worked solutions to word problems on cut-and-paste ‘algebra’ on seven different tablets, from Ešnuna, Sippar, Susa, and an unknown location in southern Babylonia."</ref>。

バビロニアの[[粘土板]]『[[プリンプトン322]]』には、ピタゴラスの定理に関わる要素が数多く含まれている。[[YBC 7289]]の裏面にはそれらしい記述がある。

[[エジプト数学]]や[[バビロニア数学]]などには[[ピタゴラス数]]についての記述があるが、定理を発見していたかまでは定かではない。ただし、[[直角]]を作図するために 3:4:5の直角三角形が作図上利用された可能性がある<ref name="亀井" />。紀元前2000年から1786年ごろに書かれた[[古代エジプト]][[エジプト中王国]]の[[パピルス]] "{{ill2|Berlin Papyrus 6619|en|Berlin Papyrus 6619}}" には定理に関わる部分が欠けている。

[[画像:Chinese pythagoras.jpg|250px|thumb|『[[周髀算経]]』におけるピタゴラスの定理の証明（{{Lang-zh|句股冪合以成弦冪}}）]]
中国古代においては、『[[周髀算経]]』（[[紀元前2世紀]]前後）や『[[九章算術]]』の数学書でもこの定理が取り上げられている。中国ではこの定理を'''勾股定理'''、'''商高定理'''等と呼んで説明している。

[[紀元前3世紀]]に書かれた[[ユークリッド原論]]では、第1巻の命題47で言及されている。

インドの紀元前5-8世紀に書かれた『[[シュルバ・スートラ]]』などにも定理に関わる文章が見られる<ref>{{Cite book |author=Kim Plofker |title=Mathematics in India |title-link= Mathematics in India |pages=[https://books.google.com/books?id=DHvThPNp9yMC&pg=PA17 17–18] |year=2009 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-12067-6}}</ref>。しかし、これはバビロニア数学の影響を受けた結果ではないかという推測もされているが、結論には至っていない<ref>{{Cite book |author1=Carl Benjamin Boyer |authorlink=:en:Carl Benjamin Boyer |author2=Uta C. Merzbach |author2-link=:en:Uta Merzbach |year=2011 |title=A history of mathematics |edition=3rd |url=https://books.google.com/books?id=bR9HAAAAQBAJ |chapter=China and India |page=229 |isbn=978-0470525487 |quote='''Quote:''' [In Sulba-sutras,] we find rules for the construction of right angles by means of triples of cords the lengths of which form Pythagorean triages, such as 3, 4, and 5, or 5, 12, and 13, or 8, 15, and 17, or 12, 35, and 37. Although Mesopotamian influence in the ''Sulvasũtras'' is not unlikely, we know of no conclusive evidence for or against this. Aspastamba knew that the square on the diagonal of a rectangle is equal to the sum of the squares on the two adjacent sides. Less easily explained is another rule given by Apastamba – one that strongly resembles some of the geometric algebra in Book II of Euclid's ''Elements''. (...) |publisher=Wiley}}</ref>。

[[画像:Pythagoras theorem leonardo da vinci.png|250px|thumb|[[レオナルド・ダ・ヴィンチ]]による[[ピタゴラス]]の定理の証明。橙色の部分を {{math|90}}度回転し、緑色の部分は裏返して図の位置にできる。]]
「ピュタゴラス（ピタゴラス）の定理」という呼称が一般的になったのは、西洋においても少なくとも[[20世紀]]に入ってからである<ref name="katano"/>。

=== 日本での呼称 ===
日本の[[和算]]でも、中国での呼称を用いて{{読み仮名|'''鉤股弦の法'''|こうこげんのほう}}等と呼んでいた<ref>[https://www.ndl.go.jp/math/s1/c6.html コラム ピタゴラスの定理 江戸の数学] 国立国会図書館</ref><ref name=":0">{{Cite journal|和書|author1=金光三男|author2=安井孜|author3=花木良|author4=河上哲|author5=山中聡恵 |date=2013-03 |url=https://hdl.handle.net/2433/194793 |title=教師に必要な数学的素養の育成 : 教科内容の背景にある数学 (数学教師に必要な数学能力に関連する諸問題) |journal=数理解析研究所講究録 |ISSN=1880-2818 |publisher=京都大学数理解析研究所 |volume=1828 |pages=101-130 |hdl=2433/194793 |CRID=1050282810781995008}} p.105 より</ref>。「勾（鈎）・股・弦」とはそれぞれ、{{math2|1=''a''{{sup|2}} + ''b''{{sup|2}} = ''c''{{sup|2}} (''a'' < ''b'' < ''c'')}} としたときの {{math2|''a'', ''b'', ''c''}} を表している。

日本の[[明治]]時代の中等学校の教科書では「ピュタゴラスの定理」と呼ばれていた。

現在、ピタゴラスの定理は「三平方の定理」とも呼ばれているが、「三平方の定理」と呼ばれるようになったのは[[1942年]]（昭和17年）の[[太平洋戦争]]開始後のことである<ref name="katano">{{Cite book|和書 |author=片野善一郎 |title=数学用語と記号ものがたり |publisher=[[裳華房]] |date=2003-08-25 |page=157}}</ref>。

このときに「鉤股弦の定理」とする案などもあったが、[[末綱恕一]]（東大教授）の発案で「三平方の定理」に改められたとされる。

== ピタゴラス数 ==
{{main|ピタゴラス数}}
3辺の長さが何れも整数である[[直角三角形]]は、ピタゴラスの定理の項目の中で古くから知られた<ref name="katano"/>。例えば、紀元前1800年ごろのバビロニアの粘土板には、3辺の長さの表（例えば {{math2|1=4961{{sup|2}} + 6480{{sup|2}} = 8161{{sup|2}}}} のようなもの）が出ている。

{{math2|1=''a''{{sup|2}} + ''b''{{sup|2}} = ''c''{{sup|2}}}} を満たす[[自然数]]の組 {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} を'''ピタゴラス数''' ({{en|Pythagorean triple}}) という。特に、{{math|''a'', ''b'', ''c''}} が[[互いに素 (整数論)|互いに素]]であるピタゴラス数 {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} は'''[[原始ピタゴラス数]]''' {{en|(primitive Pythagorean triple)}} と呼ばれる。全てのピタゴラス数は原始ピタゴラス数で {{math2|(''a'', ''b'', ''c'')}} の正の整数倍 {{math2|(''ka'', ''kb'', ''kc'')}} で表されるから、ピタゴラス数のリストを知るには、原始ピタゴラス数が本質的である。

ピタゴラス数 {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} が原始的であるためには、3つのうちある2つが互いに素であれば十分である。原始ピタゴラス数の小さい方のリストは、{{math2|''c'' < 100}} で、{{math2|''a'' < ''b''}} とすると次の通りである<ref>{{mvar|a}} の順序は{{OEIS|A020884}}による。{{math2|''b'', ''c''}} を昇順に並べると、それぞれ{{OEIS|A020883}}および{{OEIS|A020882}}になる。</ref>：
:({{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}}) = (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

=== ピタゴラス数の性質 ===
{{main|ピタゴラス数}}
ピタゴラス数 {{math2|(''a'', ''b'', ''c'')}} には、次の性質がある。
* {{mvar|a}} または {{mvar|b}} は {{math|4}} の倍数
* {{mvar|a}} または {{mvar|b}} は {{math|3}} の倍数
* {{mvar|a}} または {{mvar|b}} または {{mvar|c}} は {{math|5}} の倍数
** したがって、積 {{mvar|abc}} は {{math|60}} の倍数である。
自然数の組 {{math2|(''a'', ''b'', ''c'')}} が原始ピタゴラス数であるためには、ある自然数 {{math2|''m'', ''n''}} が
* {{math|''m'', ''n''}} は互いに素
* {{math|''m'' > ''n''}}
* {{mvar|m}} と {{mvar|n}} の偶奇が異なる（一方が[[偶数]]で他方が[[奇数]]）
を満たすとして、
: {{math2|1=(''a'', ''b'', ''c'') = (''m''{{sup|2}} &minus; ''n''{{sup|2}}, 2''mn'', ''m''{{sup|2}} + ''n''{{sup|2}})}} または {{math2|(2''mn'', ''m''{{sup|2}} &minus; ''n''{{sup|2}}, ''m''{{sup|2}} + ''n''{{sup|2}})}}
であることが必要十分である<ref>{{Harvtxt|足立|1995|pp=31-34, 106-109}}</ref><ref>{{Harvtxt|足立|2006|pp=19-22, 49-55}}</ref>。上記の {{math|(''m'', ''n'')}} は無数に存在し重複がないので、原始ピタゴラス数は無数に存在し、すべての原始ピタゴラス数を重複なく列挙できる。

例えば
:{{math|(''m'', ''n'') {{=}} (2, 1)}} のとき {{math2|1=(''a'', ''b'', ''c'') = (3, 4, 5)}}
:{{math|(''m'', ''n'') {{=}} (3, 2)}} のとき {{math2|1=(''a'', ''b'', ''c'') = (5, 12, 13)}}
:{{math|(''m'', ''n'') {{=}} (4, 1)}} のとき {{math2|1=(''a'', ''b'', ''c'') = (8, 15, 17)}}
である。{{math2|''a'' < ''b''}} を満たす原始ピタゴラス数を {{mvar|a}} の昇順に並べた一覧表は以下のようになる<ref>{{mvar|a}} の順序は{{OEIS|A020884}}による。</ref>。
{|class="wikitable"
|+原始ピタゴラス数の一覧表
|style="vertical-align:top"|
{|class="sortable wikitable mw-collapsible mw-collapsed" style="text-align:right"
! # !! {{mvar|m}} !! {{mvar|n}} !! {{mvar|a}} !! {{mvar|b}} !! {{mvar|c}}
|-
! 1
| 2 || 1 || 3 || 4 || 5
|-
! 2
| 3 || 2 || 5 || 12 || 13
|-
! 3
| 4 || 3 || 7 || 24 || 25
|-
! 4
| 4 || 1 || 8 || 15 || 17
|-
! 5
| 5 || 4 || 9 || 40 || 41
|-
! 6
| 6 || 5 || 11 || 60 || 61
|-
! 7
| 6 || 1 || 12 || 35 || 37
|-
! 8
| 7 || 6 || 13 || 84 || 85
|-
! 9
| 8 || 7 || 15 || 112 || 113
|-
! 10
| 8 || 1 || 16 || 63 || 65
|-
! 11
| 9 || 8 || 17 || 144 || 145
|-
! 12
| 10 || 9 || 19 || 180 || 181
|-
! 13
| 5 || 2 || 20 || 21 || 29
|-
! 14
| 10 || 1 || 20 || 99 || 101
|-
! 15
| 11 || 10 || 21 || 220 || 221
|-
! 16
| 12 || 11 || 23 || 264 || 265
|-
! 17
| 12 || 1 || 24 || 143 || 145
|-
! 18
| 13 || 12 || 25 || 312 || 313
|-
! 19
| 14 || 13 || 27 || 364 || 365
|-
! 20
| 7 || 2 || 28 || 45 || 53
|-
! 21
| 14 || 1 || 28 || 195 || 197
|-
! 22
| 15 || 14 || 29 || 420 || 421
|-
! 23
| 16 || 15 || 31 || 480 || 481
|-
! 24
| 16 || 1 || 32 || 255 || 257
|-
! 25
| 7 || 4 || 33 || 56 || 65
|}
|style="vertical-align:top"|
{|class="sortable wikitable mw-collapsible mw-collapsed" style="text-align:right"
! # !! {{mvar|m}} !! {{mvar|n}} !! {{mvar|a}} !! {{mvar|b}} !! {{mvar|c}}
|-
! 26
| 17 || 16 || 33 || 544 || 545
|-
! 27
| 18 || 17 || 35 || 612 || 613
|-
! 28
| 9 || 2 || 36 || 77 || 85
|-
! 29
| 18 || 1 || 36 || 323 || 325
|-
! 30
| 19 || 18 || 37 || 684 || 685
|-
! 31
| 8 || 5 || 39 || 80 || 89
|-
! 32
| 20 || 19 || 39 || 760 || 761
|-
! 33
| 20 || 1 || 40 || 399 || 401
|-
! 34
| 21 || 20 || 41 || 840 || 841
|-
! 35
| 22 || 21 || 43 || 924 || 925
|-
! 36
| 11 || 2 || 44 || 117 || 125
|-
! 37
| 22 || 1 || 44 || 483 || 485
|-
! 38
| 23 || 22 || 45 || 1012 || 1013
|-
! 39
| 24 || 23 || 47 || 1104 || 1105
|-
! 40
| 8 || 3 || 48 || 55 || 73
|-
! 41
| 24 || 1 || 48 || 575 || 577
|-
! 42
| 25 || 24 || 49 || 1200 || 1201
|-
! 43
| 10 || 7 || 51 || 140 || 149
|-
! 44
| 26 || 25 || 51 || 1300 || 1301
|-
! 45
| 13 || 2 || 52 || 165 || 173
|-
! 46
| 26 || 1 || 52 || 675 || 677
|-
! 47
| 27 || 26 || 53 || 1404 || 1405
|-
! 48
| 28 || 27 || 55 || 1512 || 1513
|-
! 49
| 28 || 1 || 56 || 783 || 785
|-
! 50
| 11 || 8 || 57 || 176 || 185
|}
|style="vertical-align:top"|
{|class="sortable wikitable mw-collapsible mw-collapsed" style="text-align:right"
! # !! {{mvar|m}} !! {{mvar|n}} !! {{mvar|a}} !! {{mvar|b}} !! {{mvar|c}}
|-
! 51
| 29 || 28 || 57 || 1624 || 1625
|-
! 52
| 30 || 29 || 59 || 1740 || 1741
|-
! 53
| 10 || 3 || 60 || 91 || 109
|-
! 54
| 15 || 2 || 60 || 221 || 229
|-
! 55
| 30 || 1 || 60 || 899 || 901
|-
! 56
| 31 || 30 || 61 || 1860 || 1861
|-
! 57
| 32 || 31 || 63 || 1984 || 1985
|-
! 58
| 32 || 1 || 64 || 1023 || 1025
|-
! 59
| 9 || 4 || 65 || 72 || 97
|-
! 60
| 33 || 32 || 65 || 2112 || 2113
|-
! 61
| 34 || 33 || 67 || 2244 || 2245
|-
! 62
| 17 || 2 || 68 || 285 || 293
|-
! 63
| 34 || 1 || 68 || 1155 || 1157
|-
! 64
| 13 || 10 || 69 || 260 || 269
|-
! 65
| 35 || 34 || 69 || 2380 || 2381
|-
! 66
| 36 || 35 || 71 || 2520 || 2521
|-
! 67
| 36 || 1 || 72 || 1295 || 1297
|-
! 68
| 37 || 36 || 73 || 2664 || 2665
|-
! 69
| 14 || 11 || 75 || 308 || 317
|-
! 70
| 38 || 37 || 75 || 2812 || 2813
|-
! 71
| 19 || 2 || 76 || 357 || 365
|-
! 72
| 38 || 1 || 76 || 1443 || 1445
|-
! 73
| 39 || 38 || 77 || 2964 || 2965
|-
! 74
| 40 || 39 || 79 || 3120 || 3121
|-
! 75
| 40 || 1 || 80 || 1599 || 1601
|}
|}
また、フランスの数学者[[ピエール・ド・フェルマー]]は一般のピタゴラス数 {{math2|(''a'', ''b'', ''c'')}} に対して、{{math2|1=''S'' = {{sfrac|1|2}}''ab''}}（直角三角形の面積）は[[平方数]]でないことを[[無限降下法]]により証明した<ref>{{Harvtxt|足立|2006|pp=93-95, 99-101}}、{{Harvtxt|高瀬|2019|pp=114-115, 180}}</ref>。

=== Jesmanowicz 予想 ===
1956年に Jesmanowicz が次の予想を提出した：
:{{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} を原始ピタゴラス数、{{mvar|n}} を自然数とする。方程式：
::<math>(an)^x+(bn)^y=(cn)^z</math>
:の自然数解 {{math2|(''x'', ''y'', ''z'')}} は
::<math>x=y=z=2</math>
:のみである。

=== 特別なピタゴラス数 ===
* 直角をはさむ2辺 {{math2|''a'', ''b''}} が連続する原始ピタゴラス数は
:{{math2|(3, 4, 5), (20, 21, 29), (119, 120, 169), …}}（{{OEIS|A114336}}）
:である。この問題はフランスの数学者[[ピエール・ド・フェルマー]]が出題し、解も発見した<ref>{{Harvtxt|高瀬|2019|pp=99-101, 147-149}}</ref>。
* 斜辺 {{mvar|c}} と他の2辺の和 {{math2|''a'' + ''b''}} が両方とも平方数になる最小のピタゴラス数は
:{{math2|1=''a'' = 4565486027761, ''b'' = 1061652293520, ''c'' = 4687298610289}}
:である。この問題はピエール・ド・フェルマーが出題し、解も発見した<ref>{{Harvtxt|高瀬|2019|pp=151, 174-177}}、{{OEIS|A166930}}を参照。ただしオンライン数列内のコメント内にある {{mvar|a}} の値が間違っているので注意が必要。</ref>。
* ピタゴラス数 ({{math2|''a'', ''b'', ''c''}}) において {{math2|''a'', ''b''}} の差が 1 で、{{mvar|c}} が[[平方数]]になるのは {{math2|(119, 120, 169)}} に限られる<ref>{{Cite journal|和書 |author= |date=2017-11 |title= |journal=数学セミナー |issue=通巻673号 |page=52 |publisher=日本評論社 <!--|url=https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/7583.html-->}}</ref>。
:{{math2|1=119{{sup|2}} + 120{{sup|2}} = (13{{sup|2}}){{sup|2}}.}}
* 3辺の長さが {{math2|''a'', ''b'', ''c''}} の直角三角形と、周の長さと面積の両方が同じ値となる、すべての辺の長さが整数である二等辺三角形が存在するならば、そのような直角三角形は全て相似であり、最小の ({{math2|''a'', ''b'', ''c''}}) の値は、{{math2|(135, 352, 377)}} である<ref>[https://www.keio.ac.jp/ja/press-releases/files/2018/9/12/180912-2.pdf 世界に1つだけの三角形の組] 慶應義塾大学理工学部KiPAS、2018年9月12日</ref>。

== 一般化 ==
=== 角の一般化 ===
{{main|余弦定理}}
第二[[余弦定理]]
:{{math2|1=''c''{{sup|2}} = ''a''{{sup|2}} + ''b''{{sup|2}} &minus; 2''ab'' cos&thinsp;''C''}}
はピタゴラスの定理を {{math2|1=''C'' = {{sfrac|π|2}} = 90° → cos&thinsp;''C'' = 0}} の場合として含む。
つまり、第二余弦定理はピタゴラスの定理を一般の三角形に対して拡張した定理になっている。

=== 指数の一般化 ===
{{main|フェルマーの最終定理}}
指数の {{math|2}} の部分を一般化すると
:{{math|1=''a{{sup|n}}'' + ''b{{sup|n}}'' = ''c{{sup|n}}''}}
となる。{{math2|1=''n'' = 2}} の場合、自明（つまり {{math2|''a'', ''b'', ''c''}} の少なくとも1つが 0）や既知解（原始ピタゴラス数の定数倍）を除いても、整数解は実質[[#ピタゴラス数|無数に存在する]]が、{{math2|''n'' ≥ 3}} の場合は非自明な整数解は存在しない。

=== 次元の一般化 ===
{{main|ド・グアの定理}}
3次元空間内に平面があるとき、その閉領域 {{mvar|S}} の面積は、{{mvar|yz}} 平面、{{mvar|zx}} 平面、{{mvar|xy}} 平面への射影の面積 {{math2|''S{{sub|x}}'', ''S{{sub|y}}'', ''S{{sub|z}}''}} を用いて
:<math>S^2={S_x}^2+{S_y}^2+{S_z}^2</math>
と表される。これは高次元へ一般化できる。

== ピタゴラスの定理の証明 ==
この定理には数百通りもの異なる[[証明 (数学)|証明]]がある。

=== 相似による証明 ===
[[画像:Pythagoras1v2.jpg|250px|thumb|相似を用いた証明]]
[[頂点]] {{math|C}} から斜辺 {{math|AB}} に下ろした[[垂直|垂線]]の足を {{math|H}} とする。{{math|△ABC}} と {{math|△ACH}} は[[図形の相似|相似]]である。ゆえに
:<math>\text{AC}:\text{AH} = \text{AB}:\text{AC} \Longrightarrow \text{AH} = { \text{AC} \times \text{AC} \over \text{AB}} = {b^2 \over c}</math>
であり、同様に
:<math>\text{BH} = {a^2 \over c}</math>
である。したがって
:<math>c = \text{AH} + \text{BH} = {b^2 \over c} + {a^2 \over c}</math>
であるから、両辺に {{mvar|c}} を掛けて
:<math>c^2=a^2+b^2</math>
を得る。

=== 三角比による証明 ===
前節の証明は、[[三角関数|三角比]]を用いると簡単に表記できる：
:<math>\begin{align}
c^2 &= c \times c \\
    &= c \times ( \text{AH} + \text{BH} ) \\
    &= c \times (b \cos A + a \cos B) \\
    &= b \times c \cos A+a \times c \cos B \\
    &= b \times b +a \times a \\
    &= a^2 + b^2.
\end{align}</math>
本証明を一般の三角形に拡張すると、第二[[余弦定理]]の証明が得られる。

=== 合同による証明<ref>{{Cite web |title=三平方の定理の４通りの美しい証明 |url=https://manabitimes.jp/math/997 |website=高校数学の美しい物語 |date=2021-03-07 |access-date=2025-01-28 |language=ja}}</ref> ===
[[ファイル:Pythagorean theorem's prove.png|サムネイル|三平方の定理の合同による証明|330x330ピクセル]]
<math>\bigtriangleup</math><math>ABC</math> と<math>\bigtriangleup</math> <math>CDE</math> が[[合同]]になるように，図のように <math>D</math> ,<math>E</math> を取る。

わかりやすいように整理すると、<math>a</math> が[[隣辺]]、<math>b</math> が[[対辺]]、<math>c</math> が[[斜辺]]の長さを示す。

四角形 <math>ACBD</math> の面積 <math>S</math> を二通りの方法で表す。

* <math>AB</math> と <math>CD</math> は直交するので， <math>S={1 \over 2}AB\times CD= {c^2 \over 2}</math>　

* <math>\bigtriangleup</math> <math>BCD</math> の面積は <math>{a^2 \over 2}</math>，<math>\bigtriangleup</math><math>ACD</math> の面積は <math>{b^2 \over 2}</math> より <math>S={1 \over 2} (a^2+b^2)</math>

よって、

<math>{c^2 \over 2} = {1 \over 2} (a^2+b^2)</math>

両辺に<math>2</math>をかけて

<math>c^2=a^2+b^2</math>

以上2つの式より三平方の定理を得る。

=== 外接円を用いた証明 ===
[[画像:三平方の定理.jpg|297px|thumb|外接円を用いた証明]]
{{math2|1=∠C = 90°}} のとき、斜辺{{math|AB}} を直径とする円{{math|O}} を描くことができる。

このとき点{{math|C}} から直径{{math|AB}} に下ろした垂線の足を {{math|H}} とし、{{math|△CHO}} に対して三平方の定理を証明する。{{math2|1=OA = OB = OC = ''c'', CH = ''a'', OH = ''b''}} とする。

{{math2|△AHC ∽ △BHC}} なので、
:{{math2|1=HA : HC = HC : HB}}
:{{math2|1=(OA &minus; OH) : HC = HC : (OB + OH)}}
:{{math2|1=(''c'' &minus; ''b'') : ''a'' = ''a'' : (''c'' + ''b'')}}
:{{math2|1=''c''{{sup|2}} &minus; ''b''{{sup|2}} = ''a''{{sup|2}}}}
:{{math2|1=∴ ''a''{{sup|2}} + ''b''{{sup|2}} = ''c''{{sup|2}} ◾️}}

=== 正方形を用いた証明 ===
[[画像:Pythagoras2.jpg|250px|thumb|正方形を用いた証明]]
{{math|△ABC}} と[[図形の合同|合同]]な4個の三角形を右図のように並べると、外側に一辺が {{math2|''a'' + ''b''}} の[[正方形]]（以下「大正方形」）が、内側に一辺が {{mvar|c}} の正方形（以下「小正方形」）ができる。
:（大正方形の面積）=（小正方形の面積）+（直角三角形の面積）× 4
である。大正方形の[[面積]]は {{math2|(''a'' + ''b''){{sup|2}}}}, 小正方形の面積は {{math|''c''{{sup|2}}}}, 直角三角形1個の面積は <math>\frac{1}{2}ab</math> である。これらを代入すると、
:<math>(a+b)^2 = c^2 + \frac{1}{2} ab \times 4</math>
整理して
:<math>a^2+b^2=c^2</math>
を得る。
<gallery>
Pythag anim.gif|正方形を用いた証明の視覚化
Pythagoras-2a.gif|正方形を用いた証明2
Pythagorean proof.png|正方形を用いた証明3
</gallery>
[[画像:Teorema de Pitágoras.Pappus1.svg|250px|thumb]]

=== 内接円を用いた証明 ===
{{math|△ABC}} において、[[内接円]]の半径 {{mvar|r}} を用いて面積 {{mvar|S}} を表すと
:{{numBlk|:|<math>S= \frac{1}{2} r(a+b+c)</math>|{{equationRef|link1|1}}}}
となるが、{{math2|1=∠C = 90°}}より、
:{{numBlk|:|<math>S= \frac{1}{2}ab</math>|{{equationRef|link2|2}}}}
:{{numBlk|:|<math>r= \frac{1}{2} (a+b-c)</math>|{{equationRef|link3|3}}}}
となるから、{{equationNote|link1|(1)}} に {{equationNote|link2|(2)}}, {{equationNote|link3|(3)}} を代入すると
:<math>\frac{1}{2} ab = \frac{1}{4} (a+b-c)(a+b+c)</math>
整理すると
:<math>a^2+b^2=c^2</math>
が得られる。

=== オイラーの公式を用いた証明 ===


[[三角関数]]と指数関数は[[冪級数]]によって[[定義]]されているものとする。（指数法則や[[オイラーの公式]]の証明に本定理が使用されない定義であればよい。）

[定義]

任意の0でない複素数 {{mvar|z}} に対し、{{math2|''z''/{{abs|''z''}}∈U}} だから
:<math>\begin{align}
z
&= |z|e^{i\theta} \\
&= |z|(\cos\theta+i \sin\theta) \\
\end{align}</math>
となる実数 {{math2|''θ''}} が存在する。
このように絶対値 {{math2|''c'' :{{=}} {{abs|''z''}}}} と偏角 θ で表したものを {{mvar|z}} の「極表示」といい、 {{mvar|c}} を円の半径または、動径の長さもしくは、斜辺という。
このとき {{math2|''z'' {{=}} ''b'' + ''ai''}} とすれば
:<math>\begin{align}
a
&= c\sin\theta \\
b
&= c\cos\theta \\
\sin\theta
&= \frac{a}{c} \\
\cos\theta
&= \frac{b}{c}
\end{align}</math>
となる。
これが実変数 {{math2|''θ''}} の関数としての {{math2|cos''θ'', sin''θ''}} の幾何学的意味を表す。
即ちベクトル {{mvar|z}} の 虚軸、実軸への正射影が {{math2|{{abs|''z''}}sin''θ'', {{abs|''z''}}cos''θ''}} なのである。
ここで、虚軸と実軸の交点は直交しているから、虚軸と実軸の正射影は直交する。

[証明]

まず{{math2|1=sin{{sup|2}} ''θ'' + cos{{sup|2}} ''θ'' = 1}} が任意の複素数 {{mvar|θ}} に対して成り立つことを（3通りの方法で）示す。

オイラーの公式より
:<math>\begin{align}
1 &=e^0=e^{i\theta-i\theta}=e^{i\theta}e^{-i\theta} \\
  &=(\cos \theta+i\sin \theta)(\cos \theta-i\sin \theta) \\
  &=\sin^2 \theta+\cos^2 \theta
\end{align}</math>
または
:<math>\begin{align}
\sin^2 \theta+\cos^2 \theta
  &=\left( \frac{e^{i\theta} -e^{-i\theta}}{2i} \right)^2 +\left( \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \right)^2 \\
  &=\frac{e^{2i\theta}+e^{-2i\theta}-2}{-4} +\frac{e^{2i\theta}+e^{-2i\theta}+2}{4} \\
  &=1
\end{align}</math>
もしくは、オイラーの公式から三角関数の半角の公式を導出する。
:<math>\begin{align}
\sin^2 \theta
  &=\left(\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} \right)^2 \\
  &=\frac{e^{2i\theta}+e^{-2i\theta}-2}{-4} \\
  &=\frac{1-\cos2\theta}{2}\ ,\\
\cos^2 \theta
  &=\left( \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \right)^2 \\
  &=\frac{e^{2i\theta}+e^{-2i\theta}+2}{4} \\
  &=\frac{1+\cos2\theta}{2} \ .
\end{align}</math>
:{{NumBlk||<math>\therefore \sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1.</math><ref name="稲津將" /><ref name="数学・物理通信" />|{{EquationRef|Euler1|1}}}}
{{equationNote|Euler1|(1)}} の式は'''ピタゴラスの基本三角関数公式''' {{en|(Fundamental Pythagorean trigonometric identity)}} と呼ばれている<ref name="Leff" />。

{{equationNote|Euler1|(1)}} の時点ですでに[[単位円]]上において本定理の成立が明らかである。なぜならば、実数の範囲では、単位円上の偏角 {{mvar|θ}} の点の座標として定義した {{math2|(cos ''θ'', sin ''θ'')}} と上記の冪級数による定義は一致するからである<ref name="三平方の定理の逆の証明" />。

前提とした {{math|△ABC}} について、{{math2|1=∠A = ''θ''}} とおけば
{{NumBlk|:|<math>a = c \sin \theta</math>|{{EquationRef|Euler2|2}}}}
{{NumBlk|:|<math>b = c \cos \theta</math>|{{EquationRef|Euler3|3}}}}
{{equationNote|Euler1|(1)}}, {{equationNote|Euler2|(2)}}, {{equationNote|Euler3|(3)}} より
:<math>\begin{align}
a^2+b^2 &= (c \sin \theta )^2 + (c \cos \theta )^2 \\
  &= c^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) \\
  &= c^2 \cdot 1= c^2
\end{align}</math>
ゆえに
:<math>a^2+b^2=c^2</math>
が得られる。

=== 三角関数の微分公式を用いた証明 ===
正弦および余弦関数を微分すれば
{{NumBlk|:|<math>(\sin \theta )'=\cos \theta</math>|{{EquationRef|diff1|1}}}}
{{NumBlk|:|<math>(\cos \theta )'=-\sin \theta</math>|{{EquationRef|diff2|2}}}}
{{equationNote|diff1|(1)}}, {{equationNote|diff2|(2)}} および微分公式より
:<math>(\sin^2 \theta +\cos^2 \theta )'=2\sin \theta \cos \theta + 2 \cos \theta (-\sin \theta )=0</math>
したがって
:<math>\sin^2 \theta +\cos^2 \theta =C</math>
ここで {{mvar|C}} は定数である。{{math2|1=''θ'' = 0}} を代入すると {{math2|1=sin 0 = 0, cos 0 = 1}} であるので、{{math2|1=''C'' = 1}} が得られる。よって
{{NumBlk|:|<math>\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1</math>|{{EquationRef|diff3|3}}}}
が得られる<ref name="数学・物理通信" />。

あとは前節と同様にして
:<math>a^2 + b^2 = c^2</math>
が得られる。

=== 三角関数の不定積分を用いた証明 ===
下記のように関数を定める。
:<math>f(\theta)=\sin^2 \theta+\cos^2 \theta .</math>
上記を漸化式を利用して不定積分すると
:<math>\begin{align}
\int f(\theta) d\theta &= \int (\sin^2 \theta) d\theta + \int (\cos^2 \theta) d\theta \\
  &=\left( {1 \over 2}\theta - {1 \over 2}\sin\theta\cos\theta + C_1 \right ) + \left( {1 \over 2}\theta + {1 \over 2} \sin\theta\cos\theta + C_2 \right) \\
  &= \theta + C
\end{align}</math>
である<ref>[http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/recur_integral1.htm 不定積分の漸化式]</ref>。[[微分積分学の基本定理]]を考慮し、これを微分すると
:<math>\frac{d}{d\theta} \int f(\theta) d\theta = f(\theta) = \frac{d}{d\theta}(\theta + C ) = 1</math>
である。したがって
:<math>f(\theta)=\sin^2 \theta+\cos^2 \theta =1.</math>
ゆえに、ピタゴラスの定理は成立する。

=== 三角関数の加法定理を用いた証明 ===
三角関数の加法定理は、三平方の定理を使わないで証明できる。本定理を使わないで証明した、三角関数の加法定理を使うと、
:<math>\begin{align}
\cos^2 \theta + \sin^2 \theta &= \cos \theta \cos \theta + \sin \theta \sin \theta \\
  &= \cos( \theta - \theta ) \\
  &= \cos 0 =1
\end{align}</math>
または
:<math>\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = \sin \theta \cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) + \cos \theta \sin \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin \frac{\pi}{2} =1</math>
が得られる<ref name="三平方の定理の証明" /><ref name="Einige spezielle Funktionen" />。
また、加法定理から導かれる[[半角公式]]を適用すると
:<math>\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}</math>
:<math>\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}</math>
したがって
:<math>\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1</math>
が得られる。

あとはこれまでと同様にして
:<math>a^2+b^2=c^2</math>
が得られる<ref name="三平方の定理の証明" />。

=== 冪級数展開を用いた証明 ===
三角関数は級数によって定義されているものとし、{{math|cos ''θ''}} と {{math|sin ''θ''}} の自乗をそれぞれ計算すると
:<math>\begin{align}
\sin^2 \theta
  &= \left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\theta^{2n+1} \right\}^2 \\
  &=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \frac{(-1)^{n-k}}{(2n-2k+1)!}\theta^{2n+2} \\
  &=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \theta^{2n+2}}{(2n+2)!} \sum_{k=0}^n \binom{2(n+1)}{2k+1} \\
  &=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} \theta^{2n}}{(2n)!} \sum_{k=0}^{n-1} \binom{2n}{2k+1} \\
  &=- \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \theta^{2n}}{(2n)!} \sum_{k=0}^{n-1} \binom{2n}{2k+1} \\
\cos^2 \theta
  &=\left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}\theta^{2n} \right\}^2 \\
  &=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{(2k)!} \frac{(-1)^{n-k}}{(2n-2k)!} \theta^{2n} \\
  &=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \theta^{2n}}{(2n)!} \sum_{k=0}^n \binom{2n}{2k} \\
  &=1+\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n \theta^{2n}}{(2n)!} \sum_{k=0}^n \binom{2n}{2k}
\end{align}</math>
となる<ref group="注">級数の収束半径は {{math|∞}} であるからこれは任意の複素数 {{mvar|θ}} に対して成り立つ。</ref>。ここで[[二項定理]]より
:<math>\begin{align}
\sum_{k=0}^n \binom{2n}{2k} - \sum_{k=0}^{n-1} \binom{2n}{2k+1}
  &= \sum_{m=0}^{2n} (-1)^m {2n \choose m} \\
  &=(1-1)^{2n} =0
\end{align}</math>
である。したがって
:<math>\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1</math>
が得られる。

あとはこれまでと同様にして
:<math>a^2+b^2=c^2</math>
が得られる<ref name="Hamilton" />。

=== 回転行列を用いた証明 ===
平面において原点を中心とする角 {{mvar|θ}} の[[回転行列|回転]]の表現行列は
:<math>R(\theta)=\begin{bmatrix}
\cos \theta &-\sin \theta \\
\sin \theta &\cos \theta
\end{bmatrix}</math>
であるが、このことも三平方の定理を用いないで証明が可能である。

{{math2|1=''R''(''θ'') ''R'' (−''θ'') = ''I''{{sub|2}}}}（[[単位行列]]）であるが<ref name="行列と1次変換" />、この式の左辺を直接計算すると
:<math>\begin{align}
R(\theta) \cdot R(-\theta)
  &= \begin{bmatrix}
\cos \theta&-\sin \theta \\
\sin \theta&\cos \theta
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
\cos \theta &\sin \theta \\
-\sin \theta &\cos \theta
\end{bmatrix} \\
  &= \begin{bmatrix}
\cos^2 \theta+\sin^2 \theta&\cos \theta\sin \theta-\sin \theta \cos \theta \\
\sin \theta \cos \theta-\cos \theta\sin \theta&\sin^2 \theta+\cos^2 \theta
\end{bmatrix} \\
  &= \begin{bmatrix}
\sin^2 \theta+\cos^2 \theta &0 \\
0 &\sin^2 \theta+\cos^2 \theta
\end{bmatrix}
\end{align}</math>
となる<ref name="対称行列と直交行列" />。したがって
:<math>\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1</math>
が得られる<ref name="Solution for Assignment" />。

あとはこれまでと同様にして
:<math>a^2+b^2=c^2</math>
が得られる。

=== 三角関数と双曲線関数を用いた証明 ===
任意の {{math|''z'' ∈ '''C'''}} に対し
:<math>\begin{align}
\sin^2 iz + \cos^2 iz
&= (i\sinh z)^2 + \cosh^2 z \\
&= \cosh^2 z - \sinh^2 z \\
&=1
\end{align}</math>
である<ref name="双曲線関数について" /><ref name="Complex Analysis Solutions" />。よって任意の {{math2|''θ'' ∈ '''C'''}} に対して
:<math>\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1</math>
が成り立つ。

あとはこれまでと同様にして
:<math>a^2+b^2=c^2</math>
が得られる。

=== 三角関数と複素数の絶対値の定義を用いた証明 ===

[定義]

複素数 {{mvar|z}} の絶対値 {{math|{{abs|''z''}}}} は、[[複素数平面]]上において、原点 {{math|O(0)}} と {{math|P(''z'')}} の距離 {{math|OP}} に等しい。
複素数 {{math2|''z'' {{=}} ''b'' + ''ai''}}（{{math2|''a'', ''b''}} は実数）（{{mvar|i}} は[[虚数単位]]）の'''絶対値'''はピタゴラスの定理とは関係なく次の式で定義される。
:<math>|z|:=\sqrt{a^2+b^2}</math>

絶対値の定義より
:<math>\begin{align}
|z|^2
&= c^2 \\
&= a^2+b^2 \\
\end{align}</math>
である。

== ピタゴラスの定理の逆 ==
ピタゴラスの定理は、[[逆]]も真となる。すなわち、{{math|△ABC}} に対して
:<math>a^2+b^2=c^2</math>
が成立すれば、{{math|△ABC}} は {{math2|1=∠C = {{sfrac|π|2}}}} の直角三角形となる。

=== 証明 ===
==== ピタゴラスの定理に依存しない証明 ====
[[画像:Inverse pythagorean theorem.jpg|250px|thumb|ピタゴラスの定理に依存しない証明]]
{{math|△ABC}} が {{math2|1=''a''{{sup|2}} + ''b''{{sup|2}} = ''c''{{sup|2}}}} を満たすとする。線分 {{math|AB}} を {{math2|''b''{{sup|2}} : ''a''{{sup|2}}}} に内分する点を {{math|D}} とすると
:<math>\begin{align}
\text{AD}
&= c \times \frac{b^2}{b^2+a^2} \\
&= c \times \frac{b^2}{c^2} \\
&= \frac{b^2}{c}
\end{align}</math>
である。これより
:<math>\text{AC} : \text{AD} =b:\frac{b^2}{c} = c:b = \text{AB} : \text{AC}</math>
であるから[[図形の相似#性質および条件|2辺比夾角相等]]より <math>\triangle \text{ACD} \sim \triangle \text{ABC}</math>。
:<math>\therefore \angle \text{ADC} = \angle \text{ACB}</math>
同様に
:<math>\angle \text{BDC} = \angle \text{BCA}</math>
となるから
{{numBlk|:|<math>\angle \text{ADC} = \angle \text{ACB} = \angle \text{BDC}</math>|{{equationRef|independent1|1}}}}
となる。

{{equationNote|independent1|(1)}} より
{{numBlk|:|<math>\angle \text{ADC} = \angle \text{BDC}</math>|{{equationRef|independent2|2}}}}
一方
{{numBlk|:|<math>\angle \text{ADC} + \angle \text{BDC} = \pi</math>|{{equationRef|independent3|3}}}}
であるから、{{equationNote|independent2|(2)}}, {{equationNote|independent3|(3)}} より
{{numBlk|:|<math>\angle \text{ADC} = \angle \text{BDC} = \frac\pi{2}</math>|{{equationRef|independent4|4}}}}
{{equationNote|independent1|(1)}}, {{equationNote|independent4|(4)}} より
:<math>\angle \text{ACB} = \frac{\pi}{2}</math>
ゆえに {{math|△ABC}} は {{math2|1=∠C = {{sfrac|π|2}}}} の直角三角形である<ref name="三平方の定理の逆の証明" />。

==== 同一法を用いた証明 ====
[[画像:Inverse of Pythagorean theorem.jpg|thumb|ピタゴラスの定理を用いた証明]]
{{math2|1=B'C' = ''a'', A'C' = ''b''，∠C' = {{sfrac|π|2}}}} である直角三角形 {{math|A'B'C'}} において、{{math2|1=A'B' = ''c'''}} とすれば、ピタゴラスの定理より
{{NumBlk|:|<math>a^2+b^2=c'\,^2</math>|{{EquationRef|same1|1}}}}
が成り立つ。
一方、仮定から {{math|△ABC}} において
{{NumBlk|:|<math>a^2+b^2=c^2</math>|{{EquationRef|same2|2}}}}
が成り立っている。{{equationNote|same1|(1)}}, {{equationNote|same2|(2)}} より
:<math>c^2=c'\,^2</math>
{{math2|''c'' > 0, ''c{{'}}'' > 0}} より
:<math>c=c'</math>
したがって、[[図形の合同#三角形の決定問題|3辺相等]]から
:<math>\triangle \text{ABC} \equiv \triangle \text{A}'\text{B}'\text{C}'</math>
{{math2|1=∴ ∠C = ∠C' = {{sfrac|π|2}}}}。ゆえに {{math|△ABC}} は {{math2|1=∠C = {{sfrac|π|2}}}} の直角三角形である<ref name="三平方の定理の逆の証明" />。

==== 対偶を用いた証明 ====
{{math|△ABC}} において {{math2|∠C ≠ {{sfrac|π|2}}}} であると仮定する。頂点 {{math|A}} から直線 {{math|BC}} に下ろした垂線の足を {{math|D}} とし、{{math2|1=AD = ''h'', CD = ''d''}} とする。

{{math|∠C < {{sfrac|π|2}}}} の場合、直角三角形 {{math|ABD}} においてピタゴラスの定理より
:<math>\begin{align}
c^2 &= (a-d)^2+h^2 \\
    &= a^2-2ad+d^2+h^2
\end{align}</math>
であり、同様に直角三角形 {{math|ACD}} では
:<math>b^2=d^2+h^2</math>
である。よって
:<math>c^2 = a^2-2ad+b^2 < a^2+b^2</math>
となる。

{{math|∠C > {{sfrac|π|2}}}} の場合も同様に考えて
:<math>\begin{align}
c^2
&= (a+d)^2+h^2\\
&= a^2+2ad+d^2+h^2\\
&= a^2+2ad+b^2
\end{align}</math>
ゆえに
:<math>c^2 > a^2+b^2</math>
となる。

よっていずれの場合も
:<math>a^2+b^2 \ne c^2</math>
である。対偶を取って、{{math2|1=''a''{{sup|2}} + ''b''{{sup|2}} = ''c''{{sup|2}}}} ならば {{math2|1=∠C = {{sfrac|π|2}}}} である。

なお、この証明から分かるように、
* {{math2|∠C < {{sfrac|π|2}} ⇔ ''a''{{sup|2}} + ''b''{{sup|2}} > ''c''{{sup|2}}}}
* {{math2|1=∠C = {{sfrac|π|2}} ⇔ ''a''{{sup|2}} + ''b''{{sup|2}} = ''c''{{sup|2}}}}
* {{math2|∠C > {{sfrac|π|2}} ⇔ ''a''{{sup|2}} + ''b''{{sup|2}} < ''c''{{sup|2}}}}
という対応がある。

==== 余弦定理を用いた証明 ====
[[画像:InvPythagorean theorem.jpg|250px|thumb|余弦定理を用いた証明]]
ピタゴラスの定理は既知とすると、それより導かれる[[余弦定理]]を用いることができる。{{math|△ABC}} において、{{math2|1=''a'' = BC, ''b'' = CA, ''c'' = AB, ''C'' = ∠ACB}} とおくと、余弦定理より
:<math>c^2=a^2+b^2-2ab\cos C</math>
一方、仮定より
:<math>a^2+b^2=c^2</math>
であるから
:<math>\cos C=0</math>
となる。三角形の内角の和は {{π}} であるから {{math2|0 < ''C'' < π}} より、
:<math>C = \cos^{-1} 0 = \frac{\pi}{2}</math>
ゆえに {{math|△ABC}} は {{math2|1=∠C = {{sfrac|π|2}}}} の直角三角形である。

==== ベクトルを用いた証明 ====
{{math|△ABC}} において
:<math>\Vert \vec c \|^2 = \Vert \vec a \|^2 + \Vert \vec b \|^2</math>
であり
:<math>\vec c = \vec b - \vec a</math>
である。
ここで
:<math>\begin{align}
\Vert \vec c \|^2
&= \vec c \cdot \vec c \\
&= (\vec b - \vec a) \cdot (\vec b - \vec a) \\
&= \Vert \vec b \|^2 - 2\vec b \cdot \vec a + \Vert \vec a \|^2 \\
\end{align}</math>
である。したがって
:<math>\vec b \cdot \vec a = 0</math>
である。よって
:<math>\angle \text{C}=\frac{\pi}{2}</math>
である。ゆえに、ピタゴラスの定理の逆が証明された。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}

=== 注釈 ===
{{Notelist2}}

=== 出典 ===
{{reflist|2|refs=
<ref name="亀井">{{Cite web|和書
|title = エジプトひもで古代文明に挑戦しよう
|author = 亀井喜久男
|url = http://www.ctk.ne.jp/~kamei-ki/egyptrope1.htm
|accessdate = 2008-03-03
}}</ref>
<ref name="大矢1952">{{Cite book|和書
|author = 大矢真一
|authorlink = 大矢真一
|title = ピタゴラスの定理
|year = 1952
|publisher = 東海書房
}}</ref>
<ref name="大矢1975">{{Cite book|和書
|author = 大矢真一
|title = ピタゴラスの定理
|year = 1975
|publisher = 東海大学出版会
|series = 東海科学選書
}}</ref>
<ref name="大矢2001">{{Cite book|和書
|author = 大矢真一
|title = ピタゴラスの定理
|date = 2001-08
|publisher = 東海大学出版会
|series = Tokai library
|isbn = 4-486-01558-4
|url = http://www.press.tokai.ac.jp/bookdetail.jsp?isbn_code=ISBN978-4-486-01558-1
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<ref name="稲津將">{{Cite web|和書
|title = オイラーの公式
|author = 稲津將
|url = http://www.sci.hokudai.ac.jp/~inaz/lecture/butsurisuugaku2/html/model/node4.html
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<ref name="数学・物理通信">{{Cite web|和書
|title = 数学・物理通信
|author = 新関章三（元高知大学）、矢野忠（元愛媛大学）
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|title = PreCalculus the Easy Way
|first = Lawrence S. |last = Leff
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|page = 296
|edition = 7th
|publisher = Barron's Educational Series
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|title = 三平方の定理の証明
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== 参考文献 ==
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|date = 2006-09
|title = フェルマーの大定理 整数論の源流
|series = ちくま学芸文庫 ア24-1 Math & Science
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|title = ピタゴラスがくれたおくり物 ピタゴラスの定理
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|first1 = ロバート |last1 = カプラン
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|translator = 水谷淳
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|author = 森下四郎
|title = ピタゴラスの定理100の証明法 幾何の散歩道
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|isbn = 978-4-903814-36-0
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|author = 森下四郎
|title = ピタゴラスの定理をめぐる2つの謎 三平方の定理の謎
|date = 2010-12
|publisher = プレアデス出版
|isbn = 978-4-903814-39-1
|ref = {{Harvid|森下|2010b}}
}}

== 関連項目 ==
{{Commonscat|Pythagorean theorem}}
{{ウィキプロジェクトリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|34px|ウィキプロジェクト 数学]]}}
{{Div col}}
* [[計量テンソル]]
* [[算数チャチャチャ]]
* [[ピタゴラス]]
* [[プリンプトン322]]
* [[ユークリッド原論]]
* [[フェルマーの最終定理]]
* [[ピタゴラス三体問題]]
{{Div col end}}

== 外部リンク ==
* {{Kotobank|ピタゴラスの定理|2=百科事典マイペディア}}
* {{Kotobank|三平方の定理|2=日本大百科全書}}
* {{MathWorld|title=Pythagorean Theorem|urlname=PythagoreanTheorem}}
* {{MathWorld|title=Pythagorean Triple|urlname=PythagoreanTriple}}

{{Normdaten}}
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[[Category:ピタゴラスの定理|*]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:証明を含む記事]]
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[[Category:ユークリッド幾何学の定理]]