フィッティング部分群のソースを表示

[[数学]]、特に[[群論]]と呼ばれる[[代数学]]の分野において、[[有限群]] {{mvar|G}} の'''フィッティング部分群'''（{{lang-en-short|Fitting subgroup}}） {{math|''F''(''G'') {{=}} Fit(''G'')}} とは、{{mvar|G}} の最大[[冪零群|冪零]][[正規部分群]]である。名前は{{仮リンク|ハンス・フィッティング|en|Hans Fitting}}に由来する。直感的には、{{mvar|G}} が[[可解群]]のとき、群 {{mvar|G}} 全体の構造を〈統制〉する最小の部分群に相当する。群 {{mvar|G}} が可解でないとき、'''一般化されたフィッティング部分群'''（{{lang|en|generalized Fitting subgroup}}） {{math|''F''*(''G'') {{=}} ''F''(''G'')''E''(''G'')}} が同様の役割を果たす。ここで {{math|''E''(''G'')}} は {{mvar|G}} の最大[[半単純群|半単純]]正規部分群である。

有限とは限らない一般の群に対して、フィッティング部分群は冪零正規部分群により[[群の生成系|生成]]される部分群として定義される。無限群のフィッティング部分群は冪零であるとは限らない。

この記事では専ら有限群の場合を扱う。

== フィッティング部分群 ==
[[有限群]]のフィッティング部分群の[[冪零群|冪零]]性は、「冪零[[正規部分群]]の有限積は冪零正規部分群である」という{{仮リンク|フィッティングの定理|en|Fitting's theorem}}により保証される。明示的には、群 {{mvar|G}} の[[群の位数|位数]]に関する素因数 {{mvar|p}} に渡る [[核 (群論)#p-核|{{lang|en|{{mvar|p}}-core}}]] {{math|''O''{{sub|''p''}}(''G'')}} の積
:<math> F(G) = \prod_p O_p(G) </math>
として表すことができる。

非自明な有限[[可解群]] {{mvar|G}} は非自明なフィッティング部分群 {{math|''F''(''G'')}} を持つ。さらに冪零でない有限群 {{mvar|G}} の商 {{math|''G''/''F''(''G'')}} は非自明であることから、{{仮リンク|フィッティング列の長さ|en|Fitting length}}が定義される。有限可解群 {{mvar|G}} のフィッティング部分群 {{math|''F'' {{=}} ''F''(''G'')}} は自身の[[中心化群]]を含む（つまり
:<math> C_G(F) \le F </math>
が成り立つ）ので、これにより有限可解群 {{mvar|G}} は冪零群 {{math|''C''{{sub|''G''}}(''F'') {{=}} ''Z''(''F'')}} の冪零群の[[忠実表現|忠実]]な[[自己同型群]] {{math|''G''/''Z''(''F'') &le; Aut(''F'')}} による[[群の拡大|拡大]]
:<math> 1 \to Z(F) \to G \to G/Z(F) \to 1 </math>
とみることができる<ref>したがって、たとえば位数 {{math|{{!}}''G''{{!}}}} は {{math|{{!}}''Z''(''F''){{!}} {{!}}Aut(''F''){{!}}}} の約数である。このことからフィッティング部分群の構造により可解群全体の構造はかなりの統制を受けることがわかる。</ref>。

冪零群において、任意の{{仮リンク|主組成列|label=主組成因子|en|chief series}}はすべての元により中心化される。この条件を幾分か緩め、一般の有限群に対して任意の主組成因子を中心化する元からなる部分群をとると、再びフィッティング部分群を得る{{sfn|Huppert|1967|loc=Kap.VI, Satz 5.4|p=686}}：
:<math> F(G) = \bigcap \{\, C_G(H/K) : H/K \text{ is a cheif factor of } G \,\}. </math>

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
*{{Citation|last1=Aschbacher|first1=Michael|title=Finite Group Theory|publisher=Cambridge University Press|year=2000|isbn=978-0-521-78675-1}}
*{{Citation|last1=Aschbacher|first1=Michael|last2=Seitz|first2=Gary M.|title=On groups with a standard component of known type|journal=Osaka J. Math.|volume=13|year=1976|pages=439–482|issue=3}}
*{{Citation | last1=Bender | first1=Helmut | title=On groups with abelian Sylow 2-subgroups | doi=10.1007/BF01109839 | mr=0288180  | year=1970 | journal=Mathematische Zeitschrift | issn=0025-5874 | volume=117 | pages=164–176}}
*{{Citation | last1=Huppert | first1=B. | title=Endliche Gruppen | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | language=German | isbn=978-3-540-03825-2 | oclc=527050 | mr=0224703  | year=1967}}
* {{Citation | last1=Huppert | first1=Bertram | last2=Blackburn | first2=Norman | title=Finite groups. III. | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin-New York | series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften | isbn=3-540-10633-2 | mr=0650245 | year=1982 | volume=243}}

== 関連項目 ==
* [[フラッティーニ部分群]] {{math|&Phi;(''G'')}}
* {{math|[[降中心列|&gamma;]]{{sub|&infin;}}(''G'') {{=}} &bigcap; &gamma;{{sub|''n''}}(''G'')}} - 商が冪零となる正規部分群の共通部分

{{デフォルトソート:ふいつていんくふふんくん}}
[[Category:群論]]
[[Category:数学に関する記事]]