フィッティング部分群

数学、特に群論と呼ばれる代数学の分野において、有限群テンプレート:Mvar のフィッティング部分群（テンプレート:Lang-en-short）テンプレート:Math とは、テンプレート:Mvar の最大冪零正規部分群である。名前はテンプレート:仮リンクに由来する。直感的には、テンプレート:Mvar が可解群のとき、群テンプレート:Mvar 全体の構造を〈統制〉する最小の部分群に相当する。群テンプレート:Mvar が可解でないとき、一般化されたフィッティング部分群（テンプレート:Lang）テンプレート:Math が同様の役割を果たす。ここでテンプレート:Math はテンプレート:Mvar の最大半単純正規部分群である。

有限とは限らない一般の群に対して、フィッティング部分群は冪零正規部分群により生成される部分群として定義される。無限群のフィッティング部分群は冪零であるとは限らない。

この記事では専ら有限群の場合を扱う。

有限群のフィッティング部分群の冪零性は、「冪零正規部分群の有限積は冪零正規部分群である」というテンプレート:仮リンクにより保証される。明示的には、群テンプレート:Mvar の位数に関する素因数テンプレート:Mvar に渡る [[核 (群論)#p-核|テンプレート:Lang]] テンプレート:Math の積

F (G) = \prod_{p} O_{p} (G)

として表すことができる。

非自明な有限可解群テンプレート:Mvar は非自明なフィッティング部分群テンプレート:Math を持つ。さらに冪零でない有限群テンプレート:Mvar の商テンプレート:Math は非自明であることから、テンプレート:仮リンクが定義される。有限可解群テンプレート:Mvar のフィッティング部分群テンプレート:Math は自身の中心化群を含む（つまり

C_{G} (F) \leq F

が成り立つ）ので、これにより有限可解群テンプレート:Mvar は冪零群テンプレート:Math の冪零群の忠実な自己同型群テンプレート:Math による拡大

1 \to Z (F) \to G \to G / Z (F) \to 1

とみることができる^[1]。

冪零群において、任意のテンプレート:仮リンクはすべての元により中心化される。この条件を幾分か緩め、一般の有限群に対して任意の主組成因子を中心化する元からなる部分群をとると、再びフィッティング部分群を得るテンプレート:Sfn：

F (G) = ⋂ {C_{G} (H / K) : H / K is a cheif factor of G} .

脚注