フィロー線のソースを表示


[[幾何学]]において、'''フィロー線'''（フィローせん、ヒーローせん<ref>{{Cite book|和書 |title=新撰数学講義 下巻 |year=1904 |publisher=[[博文館]] |page=215 |author=[[藤田外次郎]] |doi=10.11501/826286}}</ref>、{{Lang-en-short|Philo line}}）または、'''フィロン線'''（{{Lang|en|Philon line}}）は、ある[[角度|角]]とその内側にある[[点 (数学)|点]]に対して定義される、その点を通り、角を成す2[[直線]]上に端点をもつ最短[[線分]]である<ref>{{Cite book|和書 |title=初等幾何学 第1巻 平面之部 |year=1913 |publisher=[[山海堂 (出版社)|山海堂]] |pages= |doi=10.11501/930885 |author=[[ウジェーヌ・ルーシェ]],[[Charles de Comberousse]] |editor=[[小倉金之助]] |page=480}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=初等幾何学極大極小問題 |year=1910 |publisher=大倉書店 |page=111 |author=[[林鶴一]] |doi=10.11501/828606}}</ref><ref name=":02">{{Cite book|和書 |title=幾何学続編 |year=1909 |publisher=[[有朋堂]] |pages= |author=[[ジョン・ケイシー (数学者)|ジョン・ケージー]] |doi=10.11501/828521 |translator=[[山下安太郎]], [[高橋三蔵]] |page=11}}</ref>。'''フィローの線'''とも書かれる<ref>{{Cite book|和書 |title=問題解法幾何学辞典 |year=1912 |publisher=長沢亀之助 |page=487 |author=[[長沢亀之助]] |doi=10.11501/925384}}</ref>。発明家の[[ビザンチウムのフィロン (発明家)|ビザンチウムのフィロン]]に因んで名付けられた<ref>{{Cite web |url=https://hal.science/file/index/docid/175171/filename/Heron_mecanique_et_maths_a_Alexandrie.pdf |title=Mécanique et mathématiques à Alexandrie : le cas de Héron |access-date=2024-7-27 |publisher=Bernard Vitrac}}</ref>。フィロンはこの線分を[[立方体倍積問題]]の解決に用いた<ref name=":0">{{Cite journal|author=[[Howard Eves]]|year=1965|title=A Survey of Geometry|journal=Allyn and Bacon|issue=vol2}}</ref><ref>{{Cite journal|author=Wells, David|year=1911|title=Philo's line|journal=The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry.|page=182–183}}</ref>。フィロー線は[[定規とコンパスによる作図]]ができない<ref name=":0" /><ref name=":1">{{Cite book |title=Geometry in action: a discovery approach using the Geometer's Sketchpad |publisher=Key College Pub |date=2003 |location=Emeryville, CA |isbn=978-1-931914-02-4 |first=Clark |last=Kimberling}}</ref>。

== 幾何学的な特徴づけ ==
[[ファイル:Philo_line_equality.svg|サムネイル|点{{Mvar|P}}と角{{Mvar|DOE}}のフィロー線{{Mvar|DE}}。線分{{Mvar|DE}}の端点とそれぞれ{{Mvar|P}}、{{Mvar|Q}}間の距離が等しいような点{{Mvar|Q}}は頂点{{Mvar|O}}からの垂足となる。]]
フィロー線は頂角を通る[[垂線]]によって[[幾何学]]的な定義ができる。点<math>P</math>と<math>\angle DOE</math>のフィロー線を<math>DE</math>とする。ただし<math>D,E \neq O</math>。また<math>DE</math>と、<math>DE</math>の頂角<math>O</math>を通る垂線との交点を<math>Q</math>とする。このとき<math>DP=EQ,EP=DQ</math>となる<ref name=":0" />。

逆に<math>P</math>と<math>Q</math>が、線分<math>DE</math>の端点との距離が等しく、頂角<math>O</math>を通る<math>DE</math>の垂線が<math>Q</math>を通れば、この線分<math>DE</math>は点<math>P</math>と<math>\angle DOE</math>のフィロー線である<ref name=":0" />。

== 代数的な構築 ==
頂角<math>O</math>に対するそれぞれ端点<math>D,E</math>の方向と<math>P</math>の位置を適切に固定することで、以下のように代数的手法によって、フィロー線を得られる。

<math>O</math>を原点とする[[直交座標]]系を描く。<math>E</math>を<math>x</math>軸、<math>D</math>を<math>y{{=}}mx\ (m\neq0)</math>上にある点とする。<math>m</math>は<math>\angle DOE</math>の[[正接]]となる。<math>\angle DOE</math>内の点<math>P</math>の座標を<math>(P_x,P_y)</math>として、<math>E=(E_x,0)</math>と<math>D=(D_x,D_y)=(D_x,mD_x)</math>の座標を得る事を目標とする。

[[傾き (数学)|傾き]]<math>\alpha\neq0</math>を持つ直線が<math>(x,y)=(P_x,P_y)</math>を通るとき、その直線の方程式は

: <math>
y=\alpha(x-P_x)+P_y.
</math>

である。この直線と<math>x</math>軸の交点は

: <math>
\alpha(x-P_x)+P_y=0
</math>

を解けばよく、<math>E</math>の座標は

: <math>
(E_x,E_y)=\left(P_x-\frac{P_y}{\alpha},0\right).
</math>

となる。<math>\alpha\neq m</math>として、先の直線と<math>y=mx</math>の交点は

: <math>
\alpha(x-P_x)+P_y=mx
</math>

を解くことで

: <math>
(D_x,D_y)=\left(\frac{\alpha P_x-P_y}{\alpha-m},m\frac{\alpha P_x-P_y}{\alpha-m}\right).
</math>

とわかる。<math>D,E</math>の[[ユークリッド距離]]の[[自乗]]は次の式により求めることができる。

: <math>
ED^2 = d^2=(E_x-D_x)^2+(E_y-D_y)^2 = \frac{m^2(\alpha P_x-P_y)^2(1+\alpha^2)}{\alpha^2(\alpha-m)^2}.
</math>

<math>\alpha</math>が負の範囲で長さが最小の時、<math>DE</math>はフィロー線となる。

[[導関数]]<math>\partial d^2/\partial \alpha=0</math>となるような<math>\alpha</math>は最小値の候補となる。

: <math>
-2m^2\frac{(P_x\alpha -P_y)[(mP_x-P_y)\alpha^3+P_x\alpha^2-2P_y\alpha+P_ym]}{\alpha^3 (\alpha-m)^3}=0 .
</math>

整理して、

: <math>
(mP_x-P_y)\alpha^3+P_x\alpha^2-2P_y\alpha+P_ym=0
</math>

この式は、<math>P</math>を通る[[直線束]]の中で最短の線分の傾きを決定する。ただし、全体の[[最小値]]は<math>\alpha=P_y/P_x</math>の場合であり、これは<math>y=mx</math>と<math>x</math>軸の交点<math>(0,0)</math>を通ってしまうため不適である。<math>-\alpha</math>は<math>\angle OED</math>の正接となる。

<math>\alpha_1=P_y/(P_x-E_x)</math>を代入すれば<math>E_x</math>は[[三次関数|三次多項式]]

: <math>
mx^3+(2P_y-3mP_x)x^2+3P_x(mP_x-P_y)x-(mP_x-P_y)(P_x^2+P_y^2) .
</math>

の根となる。したがってこの[[三次方程式]]を解くことはフィロー線と<math>x</math>軸の交点を見つけることと等しい。1837年の[[ピエール・ヴァンツェル]]の発見によれば、非自明な三次方程式の根は[[定規とコンパスによる作図]]ができないため、フィロー線も作図することはできない。

また方程式の解を次式に代入すれば、フィロー線の長さを得る。

: <math>
d^2=
\frac{P_y^2+x^2-2xP_x+P_x^2}{(P_y+mx-mP_x)^2}
x^2m^2
.
</math>

=== Qの位置 ===
<math>OQ</math>は<math>ED</math>の[[垂線]]であるから、その傾きは<math>-1/\alpha</math>である。したがって<math>OQ</math>の方程式は<math>y=-x/\alpha</math>である。<math>Q=(Q_x,Q_y)</math>とおいて、フィロー線<math>y=\alpha(x-P_x)+P_y</math>との交点は<math>\alpha(x-P_x)+P_y=-x/\alpha</math>を解くことによって得られ、

: <math>Q_x=\frac{(\alpha P_x-P_y)\alpha}{1+\alpha^2}</math>
: <math>Q_y=-Q_x/\alpha = \frac{P_y-\alpha P_x}{1+\alpha^2}</math>

となる。また、<math>D (D_x,D_y)</math>と<math>Q</math>の距離の自乗は

: <math>DQ^2 = (D_x-Q_x)^2+(D_y-Q_y)^2 = \frac{(\alpha P_x-P_y)^2(1+\alpha m)^2}{(1+\alpha^2)(\alpha-m)^2}</math>.

で、<math>E</math>と<math>P</math>の距離の自乗は

: <math>EP^2 \equiv (E_x-P_x)^2+(E_y-P_y)^2 = \frac{P_y ^2(1+\alpha^2)}{\alpha^2}</math>.

で表される。差を取って

: <math>DQ^2-EP^2 = \frac{[(P_xm+P_y)\alpha^3+(P_x-2P_ym)\alpha^2-P_ym]
[(P_xm-P_y)\alpha^3+P_x\alpha^2-2P_y\alpha+P_ym]}{\alpha^2(1+\alpha^2)(a-m)^2}</math>.

<math>\alpha</math>に関する上記の[[3次方程式|三次方程式]]より、この式の表す値は[[0]]になり<math>DQ=PE</math>が示される。

==== 特殊な場合:直角三角形 ====
<math>(x,y)=(P_x,P_y) \quad (P_x,P_y>0)</math>を通る直線束の傾き<math>\alpha</math>の直線は、上の式によって表すことができた。<math>\angle DOE</math>が[[直角]]であるとき、<math>m\to\infty</math>とすればよく、<math>DO</math>は<math>y</math>軸と一致する。

<math>y</math>軸と傾き<math>\alpha</math>の直線の交点の<math>y</math>座標

: <math>
\alpha(-P_x)+P_y
</math>

である。したがって、交点<math>D</math>の座標は

: <math>
(D_x,D_y)=(0,P_y-\alpha P_x).
</math>

となる。<math>D,E</math>の[[ユークリッド距離]]の[[自乗]]は次の式により求めることができる。

: <math> d^2=(E_x-D_x)^2+(E_y-D_y)^2 = \frac{(\alpha P_x-P_y)^2(1+\alpha^2)}{\alpha^2}.
</math>

<math>\alpha</math>が負の範囲で長さが最小の時、<math>DE</math>はフィロー線となる。[[導関数]]<math>\partial d^2/\partial \alpha=0</math>となるような<math>\alpha</math>は

: <math>
2\frac{(P_x\alpha -P_y)(P_x\alpha^3+P_y)}{\alpha^3}=0
</math>

を解くことで得られる。<math>\alpha=P_y/P_x</math>は不適であることに注意して、解は

: <math>
\alpha = -\sqrt[3]{P_y/P_x}
</math>

である。したがってフィロー線の長さは

: <math>
d=\frac{P_y-\alpha P_x}{|\alpha|}\sqrt{1+\alpha^2}
=P_x[1+(P_y/P_x)^{2/3}]^{3/2}.
</math>

<math>\alpha_1=P_y/(P_x-E_x)</math>とおいて、方程式を解けば<math>E</math>の<math>x</math>座標を得る。

: <math>
E_x=P_x+P_y\sqrt[3]{P_y/P_x}.
</math>

== 三角法による代数的構築 ==
[[ファイル:Philon line (2).svg|サムネイル|三角法を用いたフィロン線の性質の証明]]
<math>OQ</math>が垂線であるから、[[三角関数]]を用いて、辺の長さを次のように表せる。ここで、<math>\angle POQ=\varphi,\angle DOE=\theta_{b},\angle DOQ=\theta_{c},OQ=h,OP=a</math>とする。

:: <math>DQ=h\tan(\theta_c-\varphi)</math>
:: <math>QE = h\tan(\theta_b+\varphi)</math>
:: <math>PQ = h\tan(\varphi)</math>
:: <math>EP = h\tan(\theta_b+\varphi) - h\tan(\varphi)</math>
:: <math>h=a\cos( \varphi)</math>  

これらより

<math>DE=L(\varphi)=a\cos(\varphi)\left(\tan(\theta_c-\varphi)+\tan(\theta_b+\varphi)\right)</math>

を得る。次に<math>L(\varphi)</math>の[[導関数]]を求める。

: <math>L'(\varphi) = a\cos(\varphi)\left(-\tan^2(\theta_c-\varphi)+\tan^2(\theta_b+\varphi)\right) - a\sin(\varphi)\left(\tan(\theta_c-\varphi)+\tan(\theta_b+\varphi)\right)</math>
: <math>L'(\varphi) = a\cos(\varphi)\left(\tan(\theta_c-\varphi)+\tan(\theta_b+\varphi)\right)\left(-\tan(\theta_c-\varphi)+\tan(\theta_b+\varphi)-\tan(\varphi)\right)</math>
: <math> L'(\varphi) = L(\varphi) \left(-\tan(\theta_c-\varphi)+\tan(\theta_b+\varphi)-\tan(\varphi)\right) = \frac 1h L(\varphi) (PE - QD)</math>

<math>DE,h>0</math>であるから、導関数の値が0になるときは、<math>PE=QD</math>となるとき。したがって、上記のフィロー線の性質が証明された。

== 立方体倍積問題 ==
フィロー線は[[立方体倍積問題]]の解決に用いられる。立方体倍積問題は[[2]]の[[立方根]]が[[作図可能数|作図可能]]かという問題に帰着しする。これがフィロー線を定義したフィロンの目的であった<ref>[http://coll-ferry-montlucon.planet-allier.com/gdscient.htm Les plus grands scientifiques du bassin méditerranéen], Philon de Byzance</ref>。<math>PQ:QR=1:2</math>となる[[長方形]]<math>PQRS</math>を作る。 <math>TU</math>を<math>\angle QRS</math>と点<math>P</math>のフィロー線とする。 <math>V</math>を<math>R</math>を通るフィロー線<math>TU</math>の[[垂線]]の足とすれば、[[三角形]]<math>RVP</math>は<math>RP</math>を[[直径]]とする円（長方形<math>PQRS</math>の[[外接円]]）に[[内接図形|内接]]する。

<math>W</math>を<math>V</math>を通る直線<math>QR</math>の垂線の足として、長方形とフィロー線の性質、[[三角形と比の定理]]から<math>RS=PQ</math>, <math>RW=QU</math>, <math>WU=RQ</math>が従う。また、[[直角三角形]]<math>PQU</math>,<math>RWV</math>,<math>VWU</math>は[[図形の相似|相似]]である。これらを用いることによって <math>RS:RW = PQ:QU = RW:WV = WV:WU = WV:RQ</math> が分かる。

特に<math>RS:RW = RW:WV = WV:RQ</math>に注目する。<math>PQ:QR=1:2</math>よりこれらの比が<math>1:\sqrt[3]{2}</math>であることが分かる<ref>{{Cite journal|last=Coxeter|first=H. S. M.|last2=van de Craats|first2=Jan|date=1993-11|title=Philon lines in non-Euclidean planes|url=http://dx.doi.org/10.1007/bf01226799|journal=Journal of Geometry|volume=48|issue=1-2|pages=26–55|doi=10.1007/bf01226799|issn=0047-2468}}</ref>。同様にして、一般に<math>PQ:QR=a:b</math>のときこれらの比率は<math>\sqrt[3]{a}:\sqrt[3]{b}</math>となることが分かる。
[[ファイル:Philo_line.svg|中央|360x360ピクセル]]
[[立方体倍積問題]]が[[定規とコンパスによる作図]]では不可能であることから、フィロー線の作図不可能性が証明された<ref name=":0" /><ref name=":1" />。
[[ファイル:Philon line (4).svg|サムネイル|271x271ピクセル|円と双曲線の交点を結ぶ直線として得られるフィロー線]]
<math>R=(0,0)</math>、<math>Q,S</math>をそれぞれ正の<math>x,y</math>軸上の点とすると、<math>V,P</math>の座標はそれぞれ<math>(\sqrt[3]{a^2b},\sqrt[3]{ab^2}),(\sqrt[3]{ab^2},\sqrt[3]{a^{2}b})</math>となる。つまり、<math>V,P</math>は長方形の[[外接円]]と[[双曲線]]<math>xy=ab</math>の第一象限上の交点である。紐などを用いて[[円錐曲線]]を描くことができる場合は、これと同様にしてフィロー線を得られる。

== 面積の最小化 ==
[[三角形]]<math>OED</math>の[[面積]]の[[最小]]問題は以下の様に解決される。 

<math>D,E</math>の座標をそれぞれ <math>(D_x,D_y),(E_x,E_y)</math>とする。<math>\triangle OED</math>の面積は次の式で表すことができる。 

: <math>A = D_yE_x/2 =\frac{m(\alpha P_x-P_y)^2}{2\alpha(\alpha-m)}</math>.

<math>\partial A/\partial \alpha=0</math>となるような<math>\alpha</math>を見つけることによって、面積は最小化される。

: <math>  - \frac{m(\alpha P_x-P_y)[(mP_x-2P_y)\alpha+P_ym]}{2\alpha^2(\alpha-m)^2}=0</math>.

<math>\alpha = P_y/P_x</math>は不適であるから、もう一方の解

: <math> \alpha = -\frac{mP_y}{mP_x-2P_y}</math>

を採用し、面積の[[最小値]]を得る。

: <math> A = \frac{2P_y(mP_x-P_y)}{m}</math>.

== 関連項目 ==

* [[等長共役]]

== 出典 ==
<references responsive="0"></references>
== 参考文献 ==
{{refbegin|30em}}
*{{cite journal|author=Neovius, Eduard|year=1888|title=Ueber eine specielle geometrische Aufgabe des Minimums|url=https://zenodo.org/record/2474460|journal=[[Mathematische Annalen]]|volume=31|issue=3|pages=359–362|doi=10.1007/BF01206220|s2cid=123120289}}
*{{cite journal|last=Neuberg|first=J.|authorlink=ヨーゼフ・ジャン・バティスト・ノイベルグ|year=1907|title=Sur un minimum|journal=[[Mathesis (雑誌)|Mathesis]]|pages=68–69}}
*{{cite journal|author=Wetterling, W. W. E.|year=1996|title=Philon's line generalized: an optimization problem from geometry|url=http://doc.utwente.nl/98526/1/art_10.1007_BF02189793.pdf|journal=Journal of Optimization Theory and Applications|volume=90|issue=3|pages=517–521|doi=10.1007/BF02189793|mr=1402620|s2cid=119699906}}
{{refend}}

== 外部リンク ==

* {{MathWorld|title=Philo Line|id=PhiloLine}}
{{デフォルトソート:ふいろおせん}}
[[Category:直線]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]